AlgèbreNotion · Glossaire
Invariants de similitude
Les invariants de similitude sont les quantités ou objets associés à une matrice carrée qui restent inchangés lorsqu'on la conjugue par une matrice inversible, c'est-à-dire lors d'un changement de base. Ils permettent d'écarter la similitude dès que l'un d'eux diffère ; sur un corps où le polynôme caractéristique se scinde, les valeurs propres associées aux blocs de Jordan et les tailles de ces blocs forment un système complet.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les principales données conservées par un changement de base.
- Vérifier sur deux matrices 2 × 2 une conjugaison et ses invariants.
- Savoir pourquoi des invariants élémentaires égaux ne prouvent pas toujours la similitude.
- Situer les formes de Jordan et de Frobenius selon le corps de coefficients.
En clair
Une même transformation linéaire peut recevoir plusieurs tableaux de nombres selon la base choisie. Les coefficients changent, mais certaines informations résistent au changement de point de vue. La trace, le déterminant ou les valeurs propres jouent ce rôle de repères stables.
Ces repères sont les invariants de similitude. Une différence entre deux invariants suffit à prouver que deux matrices ne décrivent pas la même transformation dans deux bases. En revanche, quelques valeurs identiques ne suffisent pas toujours à conclure qu'elles sont similaires.
Définition
Soient deux matrices carrées A et B de même taille, à coefficients dans un même corps. Elles sont similaires s'il existe une matrice inversible P telle que :
Une donnée calculée sur une matrice est un invariant de similitude lorsqu'elle prend la même valeur pour A et B dès que cette relation est satisfaite. Le déterminant, la trace, le rang, le polynôme caractéristique, le polynôme minimal et les valeurs propres sont ainsi préservés.
Ces invariants n'ont pas tous le même pouvoir de classification. Une trace, un déterminant ou même un polynôme caractéristique commun ne garantit pas à lui seul la similitude. Sur un corps algébriquement clos, la forme de Jordan enregistre les valeurs propres, le nombre de blocs et leurs tailles ; cet ensemble de blocs constitue un invariant complet, à l'ordre des blocs près.
Un exemple, pas à pas
On compare les matrices A et B à l'aide d'une matrice de changement de base P. Les données sont :
A a pour lignes (1, 1) et (0, 1).
P est diagonale, avec 1 puis 2 sur sa diagonale.
B a pour lignes (1, 2) et (0, 1).
A a pour lignes (1, 1) et (0, 1).
P est diagonale, avec 1 puis 2 sur sa diagonale.
B a pour lignes (1, 2) et (0, 1).
1. L'inverse de P est la matrice diagonale dont les coefficients sont 1 et 1/2.
2. Le produit de changement de base donne exactement :
3. Pour chaque matrice, la trace vaut 2, le déterminant vaut 1 et le rang vaut 2. Leur unique valeur propre est 1, avec multiplicité deux.
4. Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal valent tous deux . Le coefficient non nul au-dessus de la diagonale montre aussi un unique bloc de Jordan de taille 2. Le contrôle est refaisable : multiplier successivement les trois matrices redonne B, tandis que les six familles d'invariants annoncées coïncident.
En pratique
Pour écarter rapidement une similitude, on commence par des invariants peu coûteux. Si les traces, les déterminants, les rangs ou les polynômes caractéristiques diffèrent, les matrices ne sont pas similaires. S'ils coïncident, il faut poursuivre : ce premier filtre ne fournit pas toujours une preuve positive.
Pour simplifier une transformation, on cherche une représentante canonique de sa classe de similitude. Lorsque le polynôme caractéristique se scinde sur le corps étudié, la forme de Jordan rend visibles les valeurs propres et les tailles des blocs. Sinon, une forme canonique de Frobenius évite d'étendre le corps.
Pour décider si deux matrices sont effectivement similaires, on compare des invariants complets adaptés au corps. Dans le cadre de Jordan, mêmes valeurs propres et mêmes multiplicités ne suffisent pas : les tailles de tous les blocs doivent aussi coïncider.
À ne pas confondre
Matrices égales. L'égalité impose les mêmes coefficients aux mêmes places. La similitude autorise un changement de base : dans l'exemple, A et B sont distinctes puisque leurs coefficients supérieurs droits valent 1 et 2, mais elles sont similaires.
Équivalence de matrices. Une équivalence prend la forme B = QAP avec deux matrices inversibles indépendantes et conserve essentiellement le rang. La similitude impose la relation plus rigide ; elle conserve aussi trace, déterminant et polynômes caractéristiques.
Vecteurs propres. Les valeurs propres sont invariantes, mais les colonnes de coordonnées des vecteurs propres dépendent de la base. Changer de base conserve donc la valeur 1 de l'exemple, sans conserver nécessairement les mêmes coordonnées de vecteurs.
Limites et pièges
Un invariant isolé peut être trop grossier. La matrice identité de taille 2 et la matrice A de l'exemple ont trace 2, déterminant 1, rang 2 et même polynôme caractéristique. Elles ne sont pourtant pas similaires : le polynôme minimal de l'identité vaut X − 1, celui de A vaut . Il faut alors comparer un invariant plus fin.
La forme de Jordan dépend du corps. Elle existe lorsque le polynôme caractéristique se scinde en facteurs linéaires ; un corps algébriquement clos garantit cette condition. Si ce polynôme ne se scinde pas dans le corps choisi, il faut employer une forme de Frobenius ou étendre le corps.
L'ordre des blocs ne compte pas. Deux écritures de Jordan obtenues en permutant des blocs représentent la même classe de similitude. Pour comparer les paramètres, on confronte les valeurs propres et le multiensemble des tailles de blocs, non leur position graphique.
Pour aller plus loin
Le polynôme caractéristique donne les valeurs propres avec leurs multiplicités algébriques et fournit un premier filtre pour comparer deux matrices.
Le polynôme minimal distingue certaines matrices qui partagent leur polynôme caractéristique et renseigne sur la taille maximale des blocs de Jordan.
La notion de valeur propre éclaire l'information spectrale préservée par similitude et la manière dont elle apparaît dans une forme canonique.
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