AlgèbreMéthode · Glossaire
décomposition de Dunford
La décomposition de Dunford s'applique à un endomorphisme u d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps algébriquement clos. Elle affirme que u s'écrit de manière unique comme somme u = d + n, où d est un endomorphisme diagonalisable, n est un endomorphisme nilpotent, et d et n commutent entre eux. L'espace vectoriel se décompose alors en somme directe de sous-espaces caractéristiques stables ; sur chacun, u est la somme d'un multiple de l'identité et d'un endomorphisme nilpotent. Cette décomposition généralise la réduction de Jordan et est particulièrement utile pour l'étude des systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses et les trois propriétés qui caractérisent les parties d et n.
- Décomposer une matrice triangulaire 3 × 3 et contrôler la nilpotence ainsi que la commutation.
- Distinguer la décomposition de Dunford d’une diagonalisation et d’une forme de Jordan.
- Repérer l’obstacle créé par un polynôme caractéristique qui ne se scinde pas sur le corps de base.
- Relier la partie nilpotente au calcul d’un système différentiel linéaire à coefficients constants.
En clair
Imaginez une transformation qui agit sur trois coordonnées. Elle multiplie durablement certaines directions par 2 ou par 3, mais produit aussi un petit décalage d’une coordonnée vers une autre. La décomposition de Dunford sépare ces deux effets.
La partie diagonalisable décrit les facteurs stables associés aux directions propres. La partie nilpotente décrit le décalage qui finit par disparaître lorsqu’on le répète seul. Comme les deux parties commutent, leur ordre d’application ne change pas le résultat. Leur somme reconstitue exactement la transformation initiale.
Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps algébriquement clos, et soit u un endomorphisme de E. La décomposition de Dunford est l’unique écriture de u comme somme d’un endomorphisme diagonalisable d et d’un endomorphisme nilpotent n qui commutent : . Dire que n est nilpotent signifie qu’il existe un entier positif r tel que nr soit l’endomorphisme nul.
Chaque sous-espace caractéristique associé à une valeur propre λ est stable par u. Sur ce sous-espace, d agit comme la multiplication par λ et n mesure l’écart entre u et cette multiplication. La somme directe de ces sous-espaces caractéristiques couvre E. Cette formulation précise évite de partager E en un bloc où u serait seulement diagonalisable et un autre où u serait seulement nilpotent.
Dans une base de Jordan, d conserve les valeurs propres sur la diagonale, tandis que n rassemble les termes qui prolongent les chaînes de Jordan. La décomposition fournit ainsi une lecture intrinsèque de la réduction de Jordan et sert notamment à calculer l’évolution de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.
Le principe
Si E est de dimension finie sur un corps algébriquement clos et si u est un endomorphisme de E, alors il existe un unique couple (d, n) d’endomorphismes de E tel que , d soit diagonalisable, n soit nilpotent et . Sur le sous-espace caractéristique correspondant à une valeur propre λ, la règle est d = λI et n = u − λI, où I désigne l’identité de ce sous-espace.
Quand l'utiliser
Le cadre annoncé impose trois vérifications. L’espace vectoriel doit être de dimension finie. L’application u doit être un endomorphisme, donc envoyer cet espace dans lui-même. Enfin, le corps de base doit être algébriquement clos ; cette hypothèse garantit que le polynôme caractéristique de u se décompose en facteurs linéaires et que toutes les valeurs propres nécessaires sont disponibles.
Un contre-cas concret apparaît sur le plan vectoriel réel : la rotation d’un quart de tour a pour matrice . Son polynôme caractéristique X2 + 1 n’a aucune racine réelle. La construction par valeurs propres réelles est donc bloquée. On peut alors considérer le même endomorphisme après extension des scalaires au corps des nombres complexes, où le polynôme se scinde.
Un exemple, pas à pas
Données. Sur l’espace des triplets de nombres complexes, l’endomorphisme u est représenté dans la base choisie par . Ses valeurs propres sont 2 et 3.
1. On conserve les valeurs propres sur la diagonale : . Cette matrice est diagonale, donc l’endomorphisme d qu’elle représente est diagonalisable.
2. On retranche D à A : . Ainsi, A = D + N.
3. Le seul coefficient non nul de N envoie la deuxième coordonnée vers la première. Une seconde application ne peut plus rien déplacer, donc : n est nilpotent.
4. Le décalage reste dans le bloc associé à la valeur propre 2. La multiplication par D vaut donc 2 avant ou après ce décalage, ce qui donne .
Contrôle. La somme terme à terme de D et N redonne les neuf coefficients de A. Les trois critères sont vérifiés : D est diagonale, N2 = 0 et DN = ND. La figure synthétise cette séparation sans changer de base.
En pratique
Pour lire une matrice déjà écrite dans une base de Jordan, on regroupe les blocs qui portent la même valeur propre. La partie diagonalisable garde cette valeur sur chaque bloc ; la partie nilpotente conserve les coefficients hors diagonale à l'intérieur des blocs. Dans une base arbitraire, même triangulaire, il faut d'abord calculer la partie diagonalisable par une construction adaptée, puis poser n = u - d. Si n est nul, une diagonalisation directe suffit.
Pour retrouver la structure de Jordan, d indique les valeurs propres et n révèle la longueur des chaînes par les puissances successives n, n2, puis n3. Une forme de Jordan complète devient utile lorsqu’on veut aussi exhiber une base adaptée.
Pour un système différentiel linéaire à coefficients constants, la commutation sépare l’évolution associée à d de celle associée à n. Dans l’exemple, N2 = 0. Si t désigne le temps et I la matrice identité, alors . Cette troncature rend le calcul explicite.
À ne pas confondre
Diagonalisation. Diagonaliser u revient à trouver une base où sa matrice est diagonale. Dans l’exemple, le coefficient 1 empêche A d’être diagonalisable, alors que sa partie d l’est. La décomposition de Dunford existe donc même lorsque u n’est pas diagonalisable.
Réduction de Jordan. Une forme de Jordan est la matrice de u dans une base spécialement choisie. La décomposition de Dunford est une égalité entre endomorphismes, indépendante de l’affichage d’une telle base. Dans l’exemple, A est déjà sous forme de Jordan, mais D et N ont un sens dans toute base.
Limites et pièges
Corps non algébriquement clos. Une matrice réelle peut ne posséder aucune valeur propre réelle, comme la rotation d’un quart de tour. La construction annoncée ne s’applique alors pas sur les réels ; il faut étendre les scalaires à un corps où le polynôme caractéristique se scinde.
Commutation oubliée. Écrire u comme somme d’une application diagonalisable et d’une application nilpotente ne suffit pas. Sans l’égalité dn = nd, une somme peut être fabriquée de plusieurs façons et ne constitue pas la décomposition de Dunford. Il faut contrôler les deux produits.
Cas dégénéré. Si u est déjà diagonalisable, la partie nilpotente vaut exactement 0 et d = u. Inversement, si u est nilpotent, d = 0 et n = u. Ces cas restent des décompositions de Dunford, sans exiger deux parties non nulles.
Mauvais partage de l’espace. On ne cherche pas en général un sous-espace où u serait diagonalisable et un autre où u serait nilpotent. On décompose l’espace en sous-espaces caractéristiques ; sur chacun, u est la somme d’une multiplication scalaire et d’une partie nilpotente.
Pour aller plus loin
réduction de Jordan. Situer la décomposition dans une base qui rend visibles les valeurs propres et les chaînes de vecteurs généralisés.
endomorphisme nilpotent. Approfondir la disparition d’une puissance et le rôle de cette propriété dans la partie n.
valeur propre. Revoir les scalaires qui organisent les sous-espaces caractéristiques et forment la partie diagonalisable.
Polynôme minimal. Relier les puissances des facteurs associés aux valeurs propres à la taille de la partie nilpotente.
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