AlgèbreNotion · Glossaire
Trigonalisable
Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est dit trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure. Sur un corps algébriquement clos, tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable. Dans ce cadre, la trigonalisabilité est équivalente au fait que le polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base. Elle est plus faible que la diagonalisabilité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la trigonalisabilité grâce à la scission du polynôme caractéristique.
- Suivre un changement de base qui produit une matrice triangulaire supérieure.
- Distinguer trigonalisabilité, forme triangulaire et diagonalisabilité.
- Repérer le rôle du corps de base et de la dimension finie.
En clair
Une même transformation peut donner une matrice compliquée avec les vecteurs de départ, puis une matrice beaucoup plus lisible après un changement de base. Elle est trigonalisable lorsqu'on peut choisir une base qui place uniquement des zéros sous la diagonale.
Cette forme triangulaire révèle les valeurs propres sur la diagonale et simplifie les calculs. Elle n'exige pas toujours assez de vecteurs propres pour obtenir une matrice diagonale : des termes peuvent subsister au-dessus de la diagonale.
Définition
Soit un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K, et soit u un endomorphisme de E. L'endomorphisme u est trigonalisable sur K s'il existe une base de E dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure, donc de la forme . Une matrice carrée est dite trigonalisable lorsqu'elle est semblable, sur le même corps, à une telle matrice triangulaire.
En dimension finie, cette propriété équivaut au fait que le polynôme caractéristique de u est scindé sur K : il se factorise entièrement en facteurs du premier degré à coefficients dans K. Elle équivaut aussi à la scission du polynôme minimal sur K. Les valeurs propres apparaissent alors sur la diagonale de la forme triangulaire, avec leurs multiplicités algébriques.
Sur un corps algébriquement clos, comme le corps des nombres complexes, tout polynôme caractéristique se scinde ; tout endomorphisme d'un espace de dimension finie y est donc trigonalisable. La propriété dépend toutefois du corps de base. Enfin, toute matrice diagonalisable est trigonalisable, mais la réciproque est fausse.
Un exemple, pas à pas
Considérons sur ℝ² l'endomorphisme dont la matrice dans la base usuelle est la suivante :
Les données sont cette matrice, le vecteur et le vecteur .
1. Calculons le polynôme caractéristique :
Il est scindé sur ℝ, donc la matrice est trigonalisable sur ℝ.
2. On vérifie que , puis que . Comme les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une base de ℝ².
3. Dans la base ordonnée , les coordonnées précédentes donnent :
La matrice obtenue est triangulaire supérieure.
Le contrôle est refaisable : l'espace propre associé à 2 est seulement la droite engendrée par . Il n'existe donc pas une base de deux vecteurs propres. Cet exemple est trigonalisable, mais non diagonalisable. La figure synthétise le changement de base sans remplacer ces vérifications.
En pratique
Pour décider si une matrice carrée est trigonalisable sur le corps choisi, on calcule son polynôme caractéristique et on vérifie s'il se factorise entièrement en facteurs du premier degré. Si ce n'est pas le cas, on peut étendre le corps de base, par exemple de ℝ à ℂ, lorsque le problème l'autorise.
Pour construire une base adaptée, on cherche d'abord un vecteur propre, puis on complète une chaîne de sous-espaces stables. Dans l'exemple, le vecteur fournit la première direction, et complète la base.
Une forme triangulaire facilite notamment le calcul des puissances et la lecture des valeurs propres. Si l'on trouve une base entière de vecteurs propres, la diagonalisation est préférable, car elle donne une forme encore plus simple ; sinon, la trigonalisation conserve une structure exploitable.
À ne pas confondre
Trigonalisable et diagonalisable. Une matrice diagonale est triangulaire, donc la diagonalisabilité entraîne la trigonalisabilité. La réciproque exige davantage : il faut une base de vecteurs propres. La matrice de l'exemple n'a qu'une droite propre et tranche nettement la distinction.
Triangulaire et trigonalisable. « Triangulaire » décrit la matrice affichée dans une base précise. « Trigonalisable » affirme qu'un changement de base peut produire une matrice triangulaire. Dans l'exemple, la matrice initiale n'est pas triangulaire, mais sa matrice dans la base l'est.
Limites et pièges
Le corps de base compte. Une factorisation peut exister sur ℂ sans exister sur ℝ. La matrice réelle d'une rotation plane d'un angle qui n'est pas un multiple de π peut ainsi ne pas être trigonalisable sur ℝ, alors qu'elle l'est sur ℂ. Il faut donc annoncer le corps avant de conclure.
La dimension finie est une hypothèse. Le critère par le polynôme caractéristique appartient au cadre des espaces de dimension finie. Pour un espace de dimension infinie, ce polynôme n'est généralement pas défini de la même manière ; il faut employer des outils adaptés au problème.
Une seule valeur propre ne suffit pas à diagonaliser. Dans l'exemple de dimension 2, la valeur propre 2 a multiplicité algébrique 2, mais son espace propre est de dimension 1. Ce défaut bloque la diagonalisation, pas la trigonalisation. Il faut comparer les dimensions des espaces propres aux multiplicités algébriques.
Pour aller plus loin
Le polynôme caractéristique fournit le critère de scission qui décide la trigonalisabilité sur le corps de base.
Le Polynôme minimal donne un critère équivalent et décrit plus finement les facteurs nécessaires à la réduction de l'endomorphisme.
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