Polynôme minimal

Prenons une transformation qui déplace des vecteurs. On peut lui appliquer une même recette plusieurs fois, puis combiner les résultats. Certaines recettes polynomiales ramènent toujours chaque vecteur au vecteur nul. Le polynôme minimal est la plus courte de ces recettes, une fois son coefficient principal fixé à 1.

Il condense donc les répétitions essentielles de la transformation. Les racines de son polynôme minimal qui appartiennent au corps considéré sont exactement les valeurs propres ; ses facteurs irréductibles n'y ont pas nécessairement de racine. Lorsque le polynôme est scindé, les puissances de ses facteurs révèlent jusqu'où un effet non diagonal persiste.

Soit un endomorphisme u d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps. Pour tout polynôme P, l'expression P(u) désigne l'endomorphisme obtenu en remplaçant la variable par u. Un polynôme est annulateur lorsque P(u) est nul. Le polynôme minimal de u, noté ${\mu }_u\backslash mu\_u$, est l'unique polynôme annulateur unitaire de plus petit degré.

Tout polynôme annulateur est un multiple de ${\mu }_u\backslash mu\_u$. Le théorème de Cayley-Hamilton fournit en particulier un polynôme annulateur : le polynôme caractéristique, noté ${\chi }_u\backslash chi\_u$. On a donc la divisibilité suivante : ${\mu }_u\mid {\chi }_u\backslash mu\_u\backslash mid\backslash chi\_u$.

Les racines de ${\mu }_u\backslash mu\_u$ dans le corps considéré sont exactement les valeurs propres de u. Lorsque le polynôme est scindé, l'exposant du facteur associé à une valeur propre donne la taille maximale des blocs de Jordan correspondants. Enfin, ${\mu }_u={\chi }_u\backslash mu\_u=\backslash chi\_u$ exactement lorsque l'endomorphisme est cyclique, c'est-à-dire lorsqu'un vecteur et ses images successives engendrent tout l'espace.

Quatre éléments organisent le polynôme minimal. L'endomorphisme, ou sa matrice dans une base, est l'objet auquel on applique le polynôme. La variable du polynôme est une indéterminée : c'est en lui substituant cette application linéaire que l'on définit le polynôme de l'endomorphisme. Le coefficient dominant est fixé à 1 : cette condition unitaire rend le représentant unique. Enfin, les facteurs associés aux valeurs propres portent chacun un exposant.

Les racines dépendent des valeurs propres, mais les exposants dépendent aussi des chaînes de vecteurs généralisés. Pour la matrice de l'exemple, les valeurs propres 2 et 3 fournissent les facteurs correspondants ; la chaîne de longueur 2 pour la valeur 2 impose le carré du premier facteur. Ces données suffisent à construire le polynôme minimal et à tester tout autre polynôme annulateur par divisibilité.

Considérons l'endomorphisme représenté, dans une base de trois vecteurs, par la matrice A suivante. Ses données sont les nombres 2 et 3 sur la diagonale, ainsi qu'un coefficient 1 au-dessus du second 2.

1. Les valeurs propres lisibles sur cette matrice triangulaire sont 2 et 3.
2. Le facteur associé à 2 doit être au carré, car $A-2IA-2I$ n'est pas nul sur les deux premières coordonnées, mais son carré y est nul.
3. Le facteur associé à 3 est simple, car la troisième direction est déjà annulée par $A-3IA-3I$.
4. On réunit les deux contraintes dans un polynôme unitaire.

Le résultat est ${\mu }_A(X)=(X-2{)}^2(X-3)\backslash mu\_A(X)=(X-2)^2(X-3)$. Le contrôle par substitution se calcule directement : Leur produit est donc la matrice nulle : $(A-2I{)}^2(A-3I)=0(A-2I)^2(A-3I)=0$. Ici, ce polynôme a aussi degré 3 et coïncide avec le polynôme caractéristique.

Pour vérifier qu'une matrice est diagonalisable lorsque son polynôme minimal est scindé, on regarde les exposants de ses facteurs. Tous les facteurs doivent être simples. Dès qu'un carré apparaît, comme pour la valeur propre 2 dans l'exemple, la diagonalisation échoue.

Pour calculer efficacement des puissances de la matrice, on réduit le polynôme demandé modulo le polynôme minimal. Le reste, de degré strictement inférieur, produit le même endomorphisme et évite de multiplier de grandes matrices à répétition.

Lorsque le polynôme minimal est scindé sur le corps considéré, on lit dans chaque exposant la plus grande taille de bloc de Jordan associée à la valeur propre. Si l'on veut connaître le nombre de blocs de chaque taille, le polynôme minimal ne suffit plus : il faut examiner les noyaux des puissances correspondantes.

Polynôme caractéristique. Il est obtenu par un déterminant et son degré égale la dimension de l'espace. Le polynôme minimal est le plus petit annulateur unitaire et le divise. Pour la matrice diagonale de diagonale 2, 2, 3, le premier vaut $(X-2{)}^2(X-3)(X-2)^2(X-3)$, tandis que le second vaut $(X-2)(X-3)(X-2)(X-3)$.

Polynôme annulateur. Tout polynôme minimal est annulateur, mais un annulateur quelconque peut contenir des facteurs ou des puissances superflus. Le critère est la divisibilité : un polynôme annulateur doit être multiple du polynôme minimal.

Polynôme minimal d'un nombre algébrique. Celui-ci annule un nombre sur un corps de base, et non une application linéaire donnée. Les deux notions se ressemblent, mais l'objet substitué à la variable permet de trancher.

Le corps de base compte. Les racines visibles sont les valeurs propres présentes dans ce corps. Si le polynôme minimal ne s'y scinde pas, il ne faut pas annoncer une forme de Jordan sur ce corps ; on peut étendre le corps ou employer une forme canonique adaptée.

Les racines ne donnent pas leurs multiplicités caractéristiques. Une racine du polynôme minimal signale une valeur propre, mais son exposant mesure la plus grande taille d'un bloc de Jordan, pas le nombre total de blocs. Il faut compléter par les dimensions de noyaux pour reconstruire la décomposition entière.

L'égalité avec le polynôme caractéristique est spéciale. Elle se produit pour un endomorphisme cyclique. La matrice de l'exemple possède cette propriété ; la matrice diagonale de diagonale 2, 2, 3 ne la possède pas, car son polynôme minimal n'a que degré 2.

Le cas nul n'est pas une exception vide. Pour l'endomorphisme nul d'un espace non nul, le polynôme minimal est X. Sur l'espace vectoriel nul, la convention sur le polynôme minimal doit être précisée avant tout calcul.

Le polynôme annulateur replace le cas minimal dans l'ensemble des relations polynomiales satisfaites par un endomorphisme.

Le théorème de Cayley-Hamilton explique pourquoi le polynôme caractéristique fournit toujours un premier annulateur.

La fiche sur la valeur propre approfondit le lien entre les racines du polynôme minimal et les directions invariantes.

La matrice de Jordan montre ce que les exposants du polynôme minimal révèlent, et ce qu'ils laissent encore à déterminer.