polynôme annulateur

Imaginez une transformation linéaire que l’on applique plusieurs fois à des vecteurs. On peut additionner ces applications successives, chacune multipliée par un nombre. Un polynôme annulateur donne précisément une combinaison qui ramène tous les vecteurs au vecteur nul.

Ce n’est donc pas un polynôme qui vaut zéro pour une seule valeur. Il agit sur une transformation entière. Lorsqu’il existe un annulateur non nul, le polynôme minimal est l’annulateur unitaire de plus petit degré.

Soit E un espace vectoriel sur un corps K, et soit f une application linéaire de E dans lui-même. Pour un polynôme P à coefficients dans K, on remplace la variable par f : les puissances deviennent des compositions successives et le terme constant multiplie l’application identité de E. Si $P(X)=a_0+a_{1}X+\cdots +a_d{X}^{d}P(X)=a\_0+a\_1X+\backslash cdots+a\_dX^d$, alors $P(f)=a_0{\mathrm{Id}}_E+a_{1}f+\cdots +a_d{f}^{d}P(f)=a\_0\backslash operatorname\{Id\}\_E+a\_1f+\backslash cdots+a\_df^d$.

Le polynôme P est annulateur de f lorsque P(f) est l’application nulle, donc lorsque P(f)(v) est nul pour tout vecteur v de E. Les polynômes annulateurs forment un idéal de l’anneau K[X] : leur somme est encore annulatrice, et le produit d’un annulateur par n’importe quel polynôme reste annulateur. Si cet idéal contient un polynôme non nul, il est engendré par un unique polynôme unitaire, appelé polynôme minimal de f. Tout polynôme annulateur est alors un multiple du polynôme minimal. En dimension finie, le théorème de Cayley-Hamilton garantit cette existence : le polynôme caractéristique de f annule f.

La construction met en relation cinq éléments. Le corps K fournit les coefficients. L’espace vectoriel E est le domaine où vivent les vecteurs. L’endomorphisme f transforme ces vecteurs tout en restant dans E. Le polynôme P indique quelles puissances de f combiner. Enfin, l’application identité intervient avec le terme constant.

Les coefficients doivent appartenir au même corps que celui de l’espace, afin que la combinaison d’applications soit définie. De même, f doit partir de E et y revenir pour que ses puissances puissent être composées. Ces données suffisent à construire P(f) et à tester si cette application envoie chaque vecteur sur zéro.

Sur l’espace des couples de nombres réels, considérons l’endomorphisme représenté dans la base usuelle par la matrice A.

Les données sont la matrice A, la matrice identité I et le polynôme $P(X)=(X-2{)}^{2}P(X)=(X-2)^2$.

1. On remplace la variable du polynôme par la matrice : $P(A)=(A-2I{)}^{2}P(A)=(A-2I)^2$.

2. On calcule d’abord la différence.

3. On élève cette matrice au carré.

Ainsi, P(A) est la matrice nulle : le polynôme (X − 2)² annule A. Le contrôle est décisif : A − 2I n’est pas nulle, donc X − 2 ne suffit pas. Le polynôme minimal est bien (X − 2)². Dans ce cas de dimension 2, le polynôme caractéristique est également (X − 2)², conformément au théorème de Cayley-Hamilton.

Pour prouver qu’une matrice satisfait une relation polynomiale, on évalue directement un polynôme simple en cette matrice. Si le résultat est la matrice nulle, la relation est établie sans tester les vecteurs un à un.

Pour calculer rapidement de grandes puissances d’un endomorphisme, on utilise son polynôme minimal : il donne une relation qui remplace toute puissance assez élevée par une combinaison de puissances plus petites. Le polynôme caractéristique constitue une alternative garantie en dimension finie, mais son degré peut être plus grand que nécessaire.

Pour contrôler un polynôme minimal proposé, deux vérifications sont nécessaires : il doit annuler l’endomorphisme, et aucun polynôme unitaire de degré inférieur ne doit le faire. Dans l’exemple, le carré de A − 2I est nul, tandis que A − 2I ne l’est pas.

Polynôme annulateur et polynôme minimal. Lorsqu’un endomorphisme possède un annulateur non nul, il possède un seul polynôme minimal unitaire. Le critère est la divisibilité : tout annulateur est un multiple du minimal. Pour la matrice de l’exemple, (X − 2)³ est annulateur, mais il n’est pas minimal.

Polynôme annulateur et polynôme caractéristique. En dimension finie, le polynôme caractéristique est toujours annulateur, mais il n’est pas nécessairement minimal. Pour l’application identité sur un espace réel de dimension 2, le polynôme caractéristique est (X − 1)², alors que le polynôme minimal est X − 1.

Racine d’un polynôme et annulation d’un endomorphisme. Écrire P(2) = 0 teste le nombre 2. Écrire P(f) = 0 affirme que la combinaison d’applications est nulle sur tout l’espace. Une égalité scalaire ne suffit donc pas à établir l’égalité entre endomorphismes.

Le polynôme nul est un cas dégénéré. Il annule tout endomorphisme, mais il n’apporte aucune information et ne peut pas être rendu unitaire. Pour obtenir une relation utile, on cherche un annulateur non nul, puis le générateur unitaire de plus petit degré.

Annuler un vecteur ne suffit pas. Le symptôme trompeur est un calcul donnant P(f)(v) = 0 pour un vecteur particulier. Il faut établir cette égalité pour tout vecteur, ou vérifier que la matrice de P(f) est entièrement nulle.

Un annulateur non nul n’existe pas toujours en dimension infinie. Le polynôme caractéristique usuel et le théorème de Cayley-Hamilton appartiennent au cadre de la dimension finie. Hors de ce cadre, l’idéal des annulateurs peut se réduire au polynôme nul ; il n’a alors aucun générateur unitaire et aucun polynôme minimal.

Un facteur sans effet peut masquer le minimal. Constater que (X − 2)³ annule la matrice de l’exemple ne prouve pas que son degré minimal vaut 3. Il faut supprimer les facteurs possibles et retester : ici, le carré suffit, mais le facteur simple échoue.

Le polynôme minimal permet d’approfondir l’unicité du générateur unitaire et la raison pour laquelle il divise tout polynôme annulateur.

Le polynôme caractéristique montre comment les coefficients d’une matrice fournissent, par le théorème de Cayley-Hamilton, un annulateur disponible en dimension finie.