AlgèbreThéorème · Glossaire
Noyaux (lemme des)
Le lemme des noyaux est un résultat d'algèbre linéaire sur la décomposition d'un espace vectoriel. Il affirme que si P et Q sont deux polynômes premiers entre eux et si f est un endomorphisme tel que (PQ)(f) = 0, alors E se décompose en somme directe de ker(P(f)) et ker(Q(f)). Plus généralement, si le polynôme minimal de f se décompose en facteurs premiers entre eux, l'espace se décompose en somme directe des noyaux des facteurs. Ce lemme est fondamental pour la réduction des endomorphismes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Énoncer les conditions de coprimalité et d’annulation qui garantissent la somme directe.
- Suivre l’identité de Bézout qui construit les deux composantes d’un vecteur.
- Recalculer la décomposition de (3, −1, 4) dans un plan et un axe stables.
- Repérer les échecs dus à des facteurs communs, à un produit non annulateur ou à des multiplicités mal regroupées.
En clair
Imaginez une transformation qui laisse inchangé tout le plan horizontal, mais double la hauteur. Chaque flèche de l’espace se sépare alors, d’une seule façon, en une flèche horizontale et une flèche verticale.
Le lemme des noyaux généralise ce découpage. Quand une contrainte polynomiale se partage en facteurs indépendants, chaque noyau rassemble une composante de l’espace. Ces composantes ne se chevauchent qu’en zéro et, réunies, reconstituent tous les vecteurs.
Définition
Soit E un espace vectoriel sur un corps K, et soit u un endomorphisme de E. Pour un polynôme P de degré d et de coefficients a0, a1, …, ad, l’endomorphisme P(u) est obtenu en remplaçant l’indéterminée par u : . Le noyau de P(u) contient donc les vecteurs annulés par cette combinaison de puissances de u.
Si deux polynômes P et Q sont premiers entre eux et si leur produit annule u, le lemme affirme :
Le symbole ⊕ signifie que chaque vecteur de E possède une décomposition unique. L’identité de Bézout fournit des polynômes A et B tels que . Après évaluation en u, elle exprime l’identité de E comme une somme de deux opérateurs. L’hypothèse place leurs images dans les deux noyaux, tandis que l’identité de Bézout montre que l’intersection de ces noyaux est réduite au vecteur nul.
La même conclusion vaut pour une famille finie de polynômes deux à deux premiers entre eux dont le produit annule u. Lorsqu’un endomorphisme possède un polynôme minimal, sa factorisation en puissances de facteurs irréductibles distincts fournit ainsi les composantes primaires utilisées pour le réduire.
Le principe
Soient P et Q deux polynômes premiers entre eux, et u un endomorphisme d’un espace vectoriel E. Si le produit des deux polynômes évalué en u est nul, alors les noyaux de P(u) et Q(u) décomposent E en somme directe :
Plus généralement, pour des polynômes P1, …, Pr deux à deux premiers entre eux, la même implication donne :
Quand l'utiliser
Le lemme s’applique à un endomorphisme u d’un espace vectoriel E. Trois contrôles sont nécessaires : P et Q ont leurs coefficients dans le corps de base de E ; ils sont premiers entre eux ; le produit (PQ)(u) est l’endomorphisme nul sur tout E. La conclusion concerne les noyaux de P(u) et de Q(u), pas seulement celui de u.
Si la coprimalité manque, la conclusion peut échouer. Pour u égal à l’identité et P = Q = X − 1, le produit (PQ)(u) est nul, mais les deux noyaux valent E : leur somme n’est pas directe dès que E contient un vecteur non nul. Il faut alors regrouper les puissances d’un même facteur et appliquer le lemme seulement aux blocs qui sont deux à deux premiers entre eux.
Un exemple, pas à pas
Prenons l’espace E = ℝ3 et l’endomorphisme u défini par u(x, y, z) = (x, y, 2z). Les données sont P = X − 1, Q = X − 2 et le vecteur v = (3, −1, 4).
1. Les polynômes sont premiers entre eux, car . Cette identité de Bézout donne, après évaluation en u, .
2. Pour tout triplet (x, y, z), le calcul donne :
Composer ces deux opérateurs donne zéro ; ainsi, (PQ)(u) = 0.
3. On lit alors , le plan horizontal, et , l’axe vertical. Leur intersection contient seulement (0, 0, 0).
4. L’identité de Bézout sépare le vecteur annoncé :
Le premier terme appartient au noyau de P(u), et le second au noyau de Q(u).
Le contrôle est immédiat : les deux composantes s’additionnent en (3, −1, 4), et aucune autre décomposition n’est possible puisque le plan et l’axe ne partagent aucun vecteur non nul. La représentation géométrique associe le plan jaune au premier noyau et la direction verticale au second.
En pratique
Pour réduire une matrice, on factorise d’abord un polynôme qui l’annule. Lorsque ses blocs sont premiers entre eux, le lemme autorise à travailler séparément sur chaque noyau stable, puis à réunir les résultats. Sans factorisation exploitable, un calcul direct sur la matrice reste préférable.
Pour extraire la composante d’un vecteur dans chaque noyau, une identité de Bézout fournit directement les opérateurs de projection. Cette voie évite un grand système linéaire lorsque les polynômes de Bézout sont simples ; sinon, résoudre les équations des noyaux peut être plus court.
Pour tester une diagonalisation, un polynôme minimal scindé en facteurs linéaires distincts décompose l’espace en sous-espaces propres. Si un facteur est répété, le lemme conduit plutôt à des noyaux de puissances, appelés espaces propres généralisés : les seuls sous-espaces propres ne suffisent pas toujours.
À ne pas confondre
Noyau de u et noyau de P(u). Le premier contient les vecteurs envoyés sur zéro par u ; le second dépend du polynôme choisi. Sur un espace vectoriel réel non nul, si u = 2 Id et P = X − 2, le noyau de u est réduit à zéro, tandis que le noyau de P(u) est tout E.
Somme et somme directe. Une somme couvre les vecteurs obtenus en additionnant les sous-espaces. Elle est directe seulement si la décomposition est unique, ce qui équivaut ici à une intersection réduite à zéro. Deux copies du même espace ont pour somme cet espace, mais cette somme n’est pas directe s’il est non nul.
Sous-espace propre et composante primaire. Un sous-espace propre est le noyau de u − λ Id pour une valeur propre λ. Le lemme peut produire le noyau d’une puissance de u − λ Id, plus grand que le sous-espace propre lorsque le polynôme minimal possède un facteur répété.
Limites et pièges
Facteurs non premiers entre eux. Le symptôme est une intersection non nulle entre les noyaux. Avec u = Id et P = Q = X − 1, les deux noyaux valent E. Il faut regrouper les facteurs identiques avant de chercher une décomposition directe.
Produit non annulateur. Pour u(x, y, z) = (x, 2y, 3z), P = X − 1 et Q = X − 2, les deux noyaux ne couvrent que le plan z = 0. La valeur 3 révèle le bloc oublié : il faut ajouter le facteur X − 3 à un polynôme annulateur.
Multiplicités du polynôme minimal. Notons μu le polynôme minimal de u, Ri ses facteurs irréductibles distincts et αi leurs multiplicités positives. Dans la factorisation , les blocs premiers entre eux sont les puissances entières . Séparer plusieurs copies d’un même facteur invaliderait l’hypothèse.
Noyau réduit à zéro. Ce cas ne contredit pas le lemme. Pour u = Id, P = X − 1 et Q = X − 2, le noyau de P(u) vaut E et celui de Q(u) vaut {0}. La somme directe est valide, mais le second bloc n’apporte aucune composante non nulle.
Pour aller plus loin
Polynôme minimal. Relier sa factorisation aux blocs stables qui décomposent l’endomorphisme.
polynôme annulateur. Voir pourquoi un produit de polynômes qui annule l’endomorphisme déclenche le lemme.
valeur propre. Relier les facteurs linéaires du polynôme minimal aux valeurs propres de l’endomorphisme.
Sous-espace propre. Identifier les noyaux associés aux facteurs linéaires comme des composantes propres lorsque aucune multiplicité ne les élargit.
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