AlgèbreNotion · Glossaire
matrices semblables
Deux matrices carrées A et B d'ordre n sont dites semblables s'il existe une matrice carrée inversible P telle que A = P⁻¹BP (ou de manière équivalente B = PAP⁻¹). La similitude est une relation d'équivalence sur l'ensemble des matrices carrées d'ordre n. Des matrices semblables représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel, exprimé dans deux bases différentes. Elles partagent donc de nombreux invariants : même déterminant, même trace, même polynôme caractéristique, mêmes valeurs propres. En particulier, deux matrices semblables et diagonalisables sur un même corps sont simultanément diagonalisables si elles commutent, et elles ont le même rang.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la similitude comme le changement de base d’un même endomorphisme.
- Vérifier une conjugaison complète sur deux matrices d’ordre 2.
- Contrôler la trace, le déterminant, le rang, le polynôme caractéristique et les valeurs propres.
- Distinguer similitude, égalité, équivalence de matrices et diagonalisation simultanée.
- Reconnaître pourquoi des invariants communs ne suffisent pas toujours à prouver la similitude.
En clair
Imaginez une même transformation du plan décrite avec deux quadrillages différents. Les nombres inscrits dans sa matrice changent lorsque l’on change de base, mais l’action géométrique reste la même. Les deux matrices obtenues sont semblables.
La matrice inversible qui relie les deux bases sert de traducteur. Cette traduction conserve notamment la trace, le déterminant et les valeurs propres : ces repères permettent de reconnaître rapidement que deux matrices ne peuvent pas être semblables.
Définition
Soient A et B deux matrices carrées de même ordre n, à coefficients dans un même corps. Elles sont semblables lorsqu’il existe une matrice inversible P, elle aussi d’ordre n, telle que . En multipliant cette égalité à gauche par P et à droite par P−1, on obtient la forme équivalente .
Cette relation traduit un changement de base : A et B représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes. Elle est réflexive, symétrique et transitive, donc c’est une relation d’équivalence. La conjugaison conserve le déterminant, la trace, le rang et le polynôme caractéristique. Deux matrices semblables ont ainsi les mêmes valeurs propres, avec les mêmes multiplicités algébriques.
La diagonalisabilité est également préservée : si A est diagonalisable, alors B l’est, et réciproquement. Cela ne signifie pas que A et B sont nécessairement simultanément diagonalisables par une même matrice de passage. Enfin, partager la trace, le déterminant ou même le polynôme caractéristique ne suffit pas toujours à établir la similitude.
Un exemple, pas à pas
Prenons la matrice diagonale B, dont les coefficients diagonaux sont 2 et 3, et la matrice de passage P dont les lignes sont (1, 1) et (0, 1). Nous allons construire A puis contrôler les invariants des deux matrices.
1. Données.
. Le déterminant de P vaut 1 : P est donc inversible.
2. Inverse.
On obtient
On obtient
. Le produit P−1P redonne bien la matrice identité.
3. Conjugaison.
. Cette égalité suffit à prouver que A et B sont semblables.
4. Contrôle.
Les deux traces valent 5 et les deux déterminants valent 6. Comme A et B sont triangulaires, leur polynôme caractéristique est
Les deux traces valent 5 et les deux déterminants valent 6. Comme A et B sont triangulaires, leur polynôme caractéristique est
: leurs valeurs propres sont 2 et 3. Leurs déterminants non nuls confirment aussi que leur rang vaut 2.
La figure synthétise le calcul : les coefficients changent, tandis que les quatre invariants contrôlés restent identiques.
En pratique
Pour calculer des puissances d’une matrice, on cherche souvent une matrice semblable plus simple, idéalement diagonale. Si B est diagonale et A = P−1BP, alors les puissances de B se calculent coefficient par coefficient avant de revenir à A.
Lors d’un changement de base, la similitude vérifie que deux tableaux de coefficients décrivent bien le même endomorphisme. Le critère décisif est l’existence d’une matrice de passage inversible, pas la ressemblance visuelle des coefficients.
Pour écarter rapidement une similitude, on compare d’abord un invariant facile à calculer : trace, déterminant, rang ou polynôme caractéristique. Dès que l’un diffère, il est inutile de chercher P. S’ils coïncident tous, il faut poursuivre avec une information plus fine, comme la forme de Jordan lorsque le cadre l’autorise.
À ne pas confondre
Matrices semblables et matrices égales. Deux matrices égales ont exactement les mêmes coefficients aux mêmes places. Les matrices A et B de l’exemple ne sont pas égales puisque le coefficient en première ligne, deuxième colonne vaut −1 dans A et 0 dans B, mais elles sont semblables.
Similitude et équivalence de matrices. La similitude impose une conjugaison par une seule matrice P et ne concerne que des matrices carrées de même ordre. Une équivalence de la forme B = QAR peut employer deux matrices inversibles différentes ; elle classe essentiellement les matrices par leur rang.
Matrices semblables et matrices simultanément diagonalisables. Être semblables et être chacune diagonalisable ne garantit pas l’existence d’une même base qui les diagonalise toutes les deux. Pour des matrices diagonalisables, la commutation AB = BA est le critère supplémentaire usuel de diagonalisation simultanée.
Limites et pièges
Des invariants communs ne donnent pas toujours la réciproque. La matrice identité d’ordre 2 et la matrice dont les lignes sont (1, 1) et (0, 1) ont même trace 2, même déterminant 1 et même polynôme caractéristique (λ − 1)2. Elles ne sont pourtant pas semblables : toute conjuguée de l’identité reste l’identité.
La matrice de passage doit être inversible. Une égalité A = P−1BP n’a aucun sens si le déterminant de P est nul. Le premier contrôle consiste donc à vérifier que P est carrée, de bon ordre et de déterminant non nul.
Le corps de coefficients compte. La matrice réelle représentant une rotation d’un quart de tour n’est pas diagonalisable sur les réels, mais elle l’est sur les complexes. Toute affirmation de similitude ou de diagonalisabilité doit donc garder le même corps de base.
L’ordre ne peut pas changer. Une matrice 2 × 2 et une matrice 3 × 3 ne sont jamais semblables, même si elles partagent certaines valeurs propres. Elles ne représentent pas un même endomorphisme dans deux bases d’un unique espace.
Pour aller plus loin
polynôme caractéristique — Pour voir comment ce polynôme encode les valeurs propres et pourquoi la conjugaison le conserve.
valeur propre — Pour interpréter les directions conservées par un endomorphisme et relier leur calcul à la diagonalisation.
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