AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
matrice de passage
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, muni de deux bases B_1 = (e_1, …, e_n) et B_2 = (f_1, …, f_n). La matrice de passage de B_1 à B_2, notée P_{B_1 → B_2}, est la matrice carrée d'ordre n dont la j-ième colonne est formée des coordonnées du vecteur f_j exprimées dans la base B_1. Si X_1 désigne la matrice colonne des coordonnées d'un vecteur x dans B_1 et X_2 ses coordonnées dans B_2, on a la relation X_1 = P · X_2, soit X_2 = P^{−1} · X_1. La matrice de passage est inversible, son inverse étant la matrice de passage de B_2 à B_1. Pour un endomorphisme φ de E, si M_1 et M_2 désignent ses matrices dans B_1 et B_2 respectivement, elles sont liées par la relation de similitude M_2 = P^{−1} · M_1 · P. Cette formule est fondamentale pour la diagonalisation des endomorphismes et pour le calcul des formes réduites.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les colonnes qui composent une matrice de passage.
- Convertir les coordonnées d’un vecteur dans les deux sens.
- Vérifier un calcul complet en dimension 2.
- Appliquer la formule de similitude avec la bonne convention.
En clair
Dans un plan, une même flèche peut être décrite avec deux paires de nombres selon les directions choisies comme repères. Par exemple, la flèche de coordonnées (3, 1) dans les directions usuelles vaut 2 fois la direction (1, 1), plus 1 fois la direction (1, −1).
La matrice de passage organise cette traduction. Ses colonnes décrivent les nouveaux repères avec les anciens. Elle transforme alors les coordonnées sans déplacer la flèche elle-même.
Définition
Dans un espace vectoriel E de dimension finie n, considérons deux bases ordonnées B1 = (e1, …, en) et B2 = (f1, …, fn). La matrice de passage de B1 à B2, avec la convention retenue ici, est la matrice carrée dont la colonne numéro j est la colonne des coordonnées de fj dans B1 : .
Les deux familles étant des bases du même espace, cette matrice est inversible. Si X1 et X2 sont les colonnes de coordonnées d’un même vecteur dans B1 et B2, alors et . L’inverse est la matrice de passage de B2 à B1.
Pour un endomorphisme φ de E, notons M1 sa matrice dans B1 et M2 sa matrice dans B2. Les deux représentations sont semblables et vérifient . Cette relation permet notamment de remplacer une matrice par une forme plus simple, par exemple une matrice diagonale lorsqu’une base adaptée existe.
De quoi c'est fait
L’espace et sa dimension. Les deux bases appartiennent au même espace vectoriel de dimension finie n. Cette dimension fixe le nombre de lignes et de colonnes de la matrice.
Deux bases ordonnées. La base de départ B1 fournit le langage dans lequel chaque vecteur de la base B2 est décrit. L’ordre des vecteurs détermine l’ordre des colonnes.
Les colonnes. La colonne j contient les coordonnées de fj dans B1. Réunies, les n colonnes construisent P et suffisent à convertir toute colonne de coordonnées.
L’inverse. L’indépendance des vecteurs de B2 rend P inversible. La matrice P−1 effectue la traduction en sens opposé ; ni le tracé ni l’échelle d’un dessin ne participent à cette définition.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan vectoriel réel, les données sont les suivantes :
la base B1 est formée de e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) ;
la base B2 est formée de f1 = (1, 1) et f2 = (1, −1) ;
le vecteur x a pour coordonnées (3, 1) dans B1.
la base B1 est formée de e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) ;
la base B2 est formée de f1 = (1, 1) et f2 = (1, −1) ;
le vecteur x a pour coordonnées (3, 1) dans B1.
1. Les coordonnées de f1 et f2 dans B1 deviennent les colonnes de la matrice : .
2. Son déterminant vaut . Comme −2 n’est pas nul, P est bien inversible.
3. La colonne initiale est . Pour obtenir les coordonnées dans B2, on calcule l’inverse .
4. La multiplication donne . Ainsi, x = 2f1 + f2.
5. Le contrôle refait le trajet inverse : . Les deux colonnes décrivent donc le même vecteur x.
En pratique
Convertir plusieurs vecteurs. Pour une seule conversion, résoudre directement les équations de coordonnées peut suffire. Dès que plusieurs vecteurs passent entre les mêmes bases, calculer P−1 une fois évite de recommencer le système.
Choisir une base adaptée. Si une transformation agit séparément selon certaines directions, une base formée de ces directions peut donner une matrice diagonale. Si aucun motif ne se simplifie, rester dans la base initiale évite un changement inutile.
Comparer deux écritures. Lorsque deux matrices représentent le même endomorphisme dans deux bases, la relation M2 = P−1M1P explique leurs coefficients différents. Sans matrice P inversible satisfaisant cette relation, ce changement de base précis n’est pas établi.
À ne pas confondre
Matrice de passage et matrice d’un endomorphisme. La première dépend de deux bases et traduit des coordonnées ; la seconde décrit l’action d’une application linéaire. Dans l’exemple, P traduit x sans transformer le vecteur lui-même.
Vecteur et colonne de coordonnées. Le vecteur x est un objet de l’espace, tandis que X1 et X2 sont deux écritures numériques de cet objet. Ici, (3, 1) et (2, 1) représentent le même x dans deux bases différentes.
Matrices semblables et matrices égales. Deux matrices semblables peuvent avoir des coefficients différents tout en représentant le même endomorphisme dans des bases différentes. L’égalité coefficient par coefficient est une condition plus forte.
Limites et pièges
Le sens dépend de la convention. Certains ouvrages appellent « de B1 à B2 » la matrice qui envoie directement X1 sur X2. Le symptôme est une formule inversée ; il faut vérifier quelles coordonnées forment les colonnes.
Deux familles ne suffisent pas. Elles doivent être des bases du même espace et avoir n vecteurs. Si, dans le plan, f1 = f2, le déterminant des colonnes vaut 0 : la matrice n’est pas une matrice de passage entre deux bases.
L’ordre compte. Échanger f1 et f2 échange les colonnes de P. Une matrice inattendue peut donc révéler que les mêmes vecteurs ont été rangés dans un ordre différent.
La formule de similitude suit la même orientation. Avec X1 = PX2, la bonne relation est M2 = P−1M1P. Avant de calculer, il faut écrire la relation entre X1 et X2.
Pour aller plus loin
espace vectoriel — Revoir le cadre dans lequel bases, vecteurs et coordonnées prennent sens.
matrices semblables — Approfondir la relation qui relie les matrices d’un même endomorphisme dans deux bases.
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