matrice d'une dilatation

Imaginez trois curseurs indépendants qui règlent les trois coordonnées d'un vecteur. Une dilatation choisit un seul curseur : elle multiplie sa valeur par un nombre fixé et ne touche pas aux deux autres.

Dans la matrice associée, cette action se voit immédiatement sur la diagonale. Les directions conservées portent le nombre 1 ; la direction étirée, comprimée ou renversée porte le coefficient choisi. Ainsi, toute l'information utile tient dans la position de ce coefficient et dans sa valeur.

Soit un espace vectoriel E de dimension n, muni d'une base B formée des vecteurs e₁, …, e_n. On choisit un indice j entre 1 et n et un scalaire k. La dilatation φ de direction e_j et de coefficient k fixe chaque vecteur de base dont l'indice diffère de j, tandis qu'elle multiplie e_j par k.

Sa matrice dans la base B est donc Tous les coefficients hors diagonale sont nuls. Sur la diagonale, le coefficient situé à la ligne j et à la colonne j vaut k ; chacun des autres vaut 1. Pour un vecteur, seule la j-ième coordonnée est multipliée par k.

Les vecteurs de la base B sont des vecteurs propres : e_j a pour valeur propre k et les autres ont pour valeur propre 1. Cette base est donc une base propre, ce qui rend φ diagonalisable. Lorsque k vaut 1, φ est l'identité. Lorsque k est non nul, φ est inversible et son inverse est la dilatation de même direction, de coefficient 1/k.

La construction réunit cinq données. L'espace E fournit les vecteurs à transformer. La base ordonnée B fixe les coordonnées et l'ordre des lignes et des colonnes. L'indice j désigne la direction choisie. Le scalaire k règle l'action dans cette direction. Enfin, l'endomorphisme φ relie ces données en fixant les autres vecteurs de base.

La position du coefficient k dépend à la fois de l'ordre de la base et de l'indice j : permuter les vecteurs de base déplace sa case diagonale. Sa valeur détermine l'effet sur la direction correspondante, tandis que les 1 garantissent l'invariance des autres directions. Ces données suffisent à écrire la matrice, à transformer les coordonnées d'un vecteur et à décider si l'application est inversible.

Dans l'espace ℝ³, on utilise la base B = (e₁, e₂, e₃). La direction choisie est e₂, le coefficient vaut 3 et le vecteur x a pour coordonnées (2, −1, 4) dans B.

1. Les directions e₁ et e₃ restent fixes. Leurs coefficients diagonaux valent donc 1.

2. La direction e₂ est multipliée par 3. Le coefficient placé à la deuxième ligne et à la deuxième colonne vaut donc 3.

3. La matrice et le calcul des nouvelles coordonnées sont

Le résultat est φ(x) = 2e₁ − 3e₂ + 4e₃. Une lecture composante par composante confirme que seule la deuxième valeur change. Pour contrôler le calcul, on vérifie aussi les trois colonnes : elles représentent respectivement e₁, 3e₂ et e₃.

Pour construire la matrice, on part de la matrice identité et l'on remplace le coefficient diagonal d'indice j par k. Cette procédure convient lorsque la transformation fixe tous les autres vecteurs de la base ; sinon, il faut calculer chaque colonne à partir de l'image correspondante.

Pour transformer un vecteur exprimé dans cette base, il suffit de multiplier sa j-ième coordonnée par k. Une multiplication matricielle complète reste préférable si la matrice n'est pas déjà diagonale dans la base utilisée.

Pour tester l'inversibilité, on observe le coefficient k. S'il est non nul, on remplace k par 1/k pour obtenir la matrice inverse ; s'il est nul, la coordonnée de direction e_j est perdue et aucune application inverse n'existe.

Une homothétie. Elle multiplie toutes les directions par un même coefficient. La dilatation étudiée n'en modifie qu'une : dans l'exemple, (2, −1, 4) devient (2, −3, 4), et non (6, −3, 12).

Un endomorphisme diagonal quelconque. Sa diagonale peut contenir plusieurs coefficients distincts de 1. Si deux coordonnées ou davantage sont modifiées, la matrice est encore diagonale, mais elle ne décrit plus une seule dilatation de direction e_j au sens retenu ici.

Une dilatation géométrique uniforme. Dans certains contextes, ce mot désigne un changement global d'échelle. Le test décisif est la matrice : ici, toutes les directions de la base sauf une portent le coefficient 1.

Coefficient égal à 1. La case distinguée devient identique aux autres : la matrice est l'identité et aucune direction n'est effectivement modifiée. Il faut reconnaître ce cas dégénéré plutôt que chercher un étirement invisible.

Coefficient égal à 0. La direction e_j est envoyée sur le vecteur nul. La matrice reste diagonale et l'endomorphisme reste diagonalisable, mais il n'est plus inversible. Certaines conventions réservent le mot « dilatation » aux coefficients non nuls ; il faut alors parler d'endomorphisme diagonal pour ce cas.

Changement de base. La forme avec un seul coefficient k parmi des 1 est garantie dans la base B adaptée. Dans une autre base, la même application peut avoir des coefficients hors diagonale. Il faut recalculer sa matrice au lieu de conserver visuellement la même diagonale.

Direction mal identifiée. L'indice j désigne la droite engendrée par e_j, pas la j-ième ligne prise isolément. La modification doit apparaître simultanément à la j-ième ligne et à la j-ième colonne, donc dans la case diagonale correspondante.

La notion de valeur propre précise pourquoi les vecteurs de la base B donnent directement les coefficients diagonaux 1 et k.

L'homothétie permet ensuite de comparer une transformation qui agit dans toutes les directions avec la dilatation qui n'en privilégie qu'une.