matrice d'une forme bilinéaire

Prenez deux vecteurs décrits par des listes de nombres. Une forme bilinéaire les combine et renvoie un seul nombre. Sa matrice rassemble les coefficients nécessaires à ce calcul : chaque ligne correspond à un vecteur de base placé en premier, chaque colonne à un vecteur de base placé en second.

La matrice est donc une fiche de calcul liée à une base choisie. Si l’on échange les deux vecteurs sans changer le résultat, les coefficients se répondent de part et d’autre de la diagonale.

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur un corps K, muni d’une base B formée des vecteurs e₁, …, e_n. Pour une forme bilinéaire φ de E × E vers K, sa matrice A dans B est formée des valeurs prises sur tous les couples de vecteurs de base :

Si les colonnes X et Y contiennent les coordonnées respectives des vecteurs u et v dans B, alors $\phi (u,v)=X^{\mathsf{T}}AY\backslash varphi(u,v)=X^\{\backslash mathsf\; T\}AY$. La matrice dépend de la base, tandis que la forme bilinéaire reste le même objet. Lorsque φ est symétrique, A est symétrique ; réciproquement, une matrice symétrique représente une forme symétrique dans la base considérée. Pour une application bilinéaire définie sur E × F, avec des bases de dimensions n et p, la même construction donne une matrice rectangulaire n × p.

La construction réunit cinq données. Le corps K fournit les scalaires. L’espace E contient les vecteurs. La base ordonnée B fixe leurs coordonnées et l’ordre des lignes et colonnes. La forme bilinéaire φ associe un scalaire à deux vecteurs. Enfin, le coefficient situé ligne i, colonne j est la valeur de φ sur e_i puis e_j.

L’ordre compte : inverser les deux vecteurs de base transpose la position du coefficient. Modifier la base change les coefficients et les coordonnées en même temps, sans modifier les valeurs de φ sur les vecteurs eux-mêmes. Ces données suffisent à reconstruire la forme et à calculer sa valeur sur tout couple de vecteurs.

Dans le plan réel muni de la base usuelle, on veut déterminer la valeur d’une forme bilinéaire sur le couple ordonné (u, v). On prend sa matrice A, puis les vecteurs u et v de coordonnées X et Y :

1. On multiplie d’abord A par Y : $AY=\left(\begin{array}{c}7\\ -6\end{array}\right)AY=\backslash begin\{pmatrix\}7\backslash \backslash -6\backslash end\{pmatrix\}$.

2. On effectue ensuite le produit avec la transposée de X : $X^{\mathsf{T}}AY=1\times 7+2\times (-6)=-5X^\{\backslash mathsf\; T\}AY=1\backslash times7+2\backslash times(-6)=-5$. Ainsi, φ(u, v) vaut −5.

3. Le contrôle direct développe les quatre contributions : $2\times 1\times 3-1\times 1\times (-1)-1\times 2\times 3+3\times 2\times (-1)=-52\backslash times1\backslash times3-1\backslash times1\backslash times(-1)-1\backslash times2\backslash times3+3\backslash times2\backslash times(-1)=-5$. Les deux calculs concordent. La matrice étant symétrique, échanger u et v donne encore −5.

Pour calculer une valeur de la forme, on écrit les coordonnées des deux vecteurs dans la base associée à la matrice, puis on effectue le produit matrice-vecteur et le produit scalaire final. Un développement terme à terme reste utile pour contrôler un petit calcul.

Pour tester la symétrie, on compare les coefficients situés de part et d’autre de la diagonale. Si l’un d’eux diffère de son coefficient miroir, la forme n’est pas symétrique.

Pour changer de base, on ne remplace jamais seulement les coordonnées des vecteurs. On transforme aussi la matrice avec la même matrice de passage ; conserver l’ancienne matrice produirait la valeur d’une autre forme.

Matrice d’une application linéaire. Elle décrit une application à un seul vecteur et ses lignes et colonnes peuvent relever de bases différentes. Ici, deux vecteurs entrent dans le calcul et un scalaire en sort.

Forme quadratique. Une forme quadratique ne reçoit qu’un vecteur et s’obtient, dans le cadre associé, en évaluant une forme bilinéaire sur deux copies de ce vecteur. Connaître seulement ces valeurs diagonales ne détermine pas toujours la forme bilinéaire sans hypothèses sur le corps et la symétrie.

Produit scalaire. Tout produit scalaire réel est une forme bilinéaire symétrique définie positive, mais une forme bilinéaire quelconque peut être non symétrique, dégénérée ou prendre des valeurs négatives sur un vecteur non nul. La matrice de l’exemple est bien celle d’un produit scalaire, car elle est symétrique définie positive.

La matrice n’est pas intrinsèque. Si P a pour colonnes les coordonnées de la nouvelle base dans l’ancienne, la matrice devient $A^{\mathrm{\prime }}=P^{\mathsf{T}}APA^\{\backslash prime\}=P^\{\backslash mathsf\; T\}AP$. Une comparaison coefficient par coefficient n’a donc de sens qu’après avoir vérifié la base.

Une matrice carrée peut être dégénérée. Si son déterminant est nul, un vecteur non nul peut donner la valeur zéro contre tout vecteur placé de l’autre côté. Il faut alors étudier le noyau approprié plutôt que tenter d’inverser la matrice.

Le cas rectangulaire n’exprime pas une symétrie. Pour une forme définie sur deux espaces de dimensions différentes, la matrice a autant de lignes que la première base et de colonnes que la seconde. La transposée représente l’échange des deux arguments, mais elle n’a pas les mêmes dimensions.

La diagonale ne suffit pas toujours. En caractéristique 2, les valeurs prises sur deux copies du même vecteur ne permettent pas de retrouver une forme bilinéaire symétrique par la formule de polarisation usuelle avec une division par 2. Il faut conserver les coefficients mixtes.

La fiche forme bilinéaire précise la linéarité séparée dans chacun des deux arguments, propriété dont la matrice encode tous les coefficients.

La fiche produit scalaire étudie le cas symétrique défini positif, où la matrice permet aussi de mesurer longueurs et angles.

La signature d’une forme quadratique prolonge l’étude des matrices symétriques réelles en comptant leurs directions positives, négatives et nulles.