forme bilinéaire symétrique

Prenons deux vecteurs du plan, par exemple (1, 2) et (3, 4), puis une règle qui combine leurs coordonnées et renvoie un nombre. Cette règle est symétrique si échanger les deux vecteurs ne change jamais le résultat.

Elle mesure donc une relation réciproque : le premier vecteur joue exactement le même rôle que le second. La bilinéarité ajoute que la règle respecte séparément les additions et les multiplications par un scalaire dans chacun des deux emplacements.

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Une forme bilinéaire symétrique est une application B qui associe un scalaire à deux vecteurs de E : $B:E\times E\to KB:E\backslash times\; E\backslash to\; K$. Elle est linéaire par rapport au premier vecteur lorsque le second est fixé, et linéaire par rapport au second lorsque le premier est fixé.

La symétrie impose, pour tous les vecteurs x et y de E : $B(x,y)=B(y,x)B(x,y)=B(y,x)$. En dimension finie, après le choix d’une base, B est représentée par une matrice A et s’écrit $B(x,y)=x^{\mathsf{T}}AyB(x,y)=x^\{\backslash mathsf\; T\}Ay$. La condition de symétrie équivaut alors à $A^{\mathsf{T}}=AA^\{\backslash mathsf\; T\}=A$. La matrice dépend de la base, tandis que la symétrie de la forme n’en dépend pas.

Sur le corps des réels, une telle forme devient un produit scalaire si elle est en plus définie positive : B(x, x) est strictement positif pour tout vecteur x non nul. Toute forme symétrique fournit aussi une forme quadratique q définie par $q(x)=B(x,x)q(x)=B(x,x)$. Lorsque la caractéristique de K n’est pas 2, B se retrouve à partir de q par polarisation.

Dans le plan réel ℝ², considérons la forme B définie par $B((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1{y}_1+2x_2{y}_{2}B((x\_1,x\_2),(y\_1,y\_2))=x\_1y\_1+2x\_2y\_2$. Les données sont les vecteurs u = (1, 2) et v = (3, 4), ainsi que les coefficients 1 et 2 de la forme.

1. On place d’abord les coordonnées de u dans le premier emplacement et celles de v dans le second.
2. Le calcul donne $B(u,v)=1\times 3+2\times 2\times 4=19B(u,v)=1\backslash times3+2\backslash times2\backslash times4=19$.
3. On échange ensuite les vecteurs : $B(v,u)=3\times 1+2\times 4\times 2=19B(v,u)=3\backslash times1+2\backslash times4\backslash times2=19$.
4. Les deux résultats sont égaux, comme l’exige la symétrie.

La même égalité vaut pour n’importe quels vecteurs, car les produits de scalaires commutent. Le schéma associé matérialise l’échange des deux entrées sans modifier la valeur 19.

Pour contrôler la bilinéarité, on peut remplacer u par une somme de deux vecteurs et développer chaque coordonnée : le résultat se sépare en la somme des deux valeurs de B. Le même contrôle fonctionne dans le second emplacement.

En géométrie euclidienne, une forme symétrique définie positive sert à calculer des longueurs et des angles. On vérifie d’abord la positivité ; si elle échoue, la forme ne fournit pas une norme et l’on emploie plutôt le langage des formes quadratiques.

Pour étudier une équation quadratique, on représente la forme dans une base puis on cherche une base qui simplifie sa matrice. Sur ℝ, après diagonalisation, les nombres de coefficients diagonaux strictement positifs, strictement négatifs et nuls donnent l’inertie de la forme. Les vecteurs de base associés aux coefficients nuls engendrent son noyau ; pour une forme indéfinie, un vecteur non nul peut cependant être isotrope, c’est-à-dire vérifier q(x) = 0, sans appartenir au noyau.

Dans un calcul matriciel, le test A^T = A reconnaît la symétrie de la matrice représentative. Si les coefficients opposés par rapport à la diagonale diffèrent, la forme n’est pas symétrique dans cette base et ne le sera dans aucune autre.

Forme bilinéaire quelconque. La bilinéarité seule ne garantit pas la symétrie. Sur ℝ², la règle qui associe à deux vecteurs le déterminant de leurs coordonnées change de signe quand on échange les vecteurs ; elle est alternée, et non symétrique.

Produit scalaire. Sur un espace vectoriel réel, tout produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. La forme de l’exemple est un produit scalaire, mais la forme $B(x,y)=x_1{y}_1-x_2{y}_{2}B(x,y)=x\_1y\_1-x\_2y\_2$ ne l’est pas, car B((0, 1), (0, 1)) = −1.

Matrice symétrique. Une matrice symétrique est un tableau de coefficients égal à sa transposée. Une forme bilinéaire symétrique est une application indépendante de toute base ; chacune de ses matrices représentatives est symétrique, mais leurs coefficients peuvent changer avec la base.

Deux espaces différents. Pour écrire B(x, y) = B(y, x), les deux arguments doivent appartenir au même espace, ou une identification précise entre deux espaces doit être donnée. Une application sur E × F sans telle identification ne possède pas cette symétrie au sens usuel.

Forme dégénérée. Une forme peut être symétrique tout en annulant un vecteur non nul contre tous les autres. Ce symptôme correspond à une matrice singulière ; il faut alors travailler avec son noyau ou passer au quotient avant de chercher une géométrie non dégénérée.

Caractéristique 2. Sur un corps où 1 + 1 = 0, la formule de polarisation usuelle demanderait de diviser par 2, ce qui est impossible. Une forme quadratique ne détermine alors pas sa forme bilinéaire symétrique de la même manière ; il faut préciser la convention adoptée.

Valeurs négatives. La symétrie n’impose aucun signe à B(x, x). Si cette valeur est négative pour un vecteur ou nulle pour un vecteur non nul, l’expression $\sqrt{B(x,x)}\backslash sqrt\{B(x,x)\}$ ne définit pas une norme réelle ; il faut vérifier la positivité avant de parler de longueur.

La notion générale de forme bilinéaire situe la symétrie parmi les autres comportements possibles lors de l’échange des arguments.

Le produit scalaire montre ce que la positivité ajoute à une forme bilinéaire symétrique pour construire longueurs, angles et orthogonalité.

La signature d’une forme quadratique décrit le nombre de directions positives et négatives après réduction d’une forme symétrique réelle.