AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
application bilinéaire
Soient E, F et G trois espaces vectoriels définis sur un même corps K. Une application f de E × F dans G, associant à tout couple (x, y) l'élément f(x, y) de G, est dite bilinéaire si elle est linéaire séparément par rapport à chacune de ses variables : linéaire en x à y fixé, et linéaire en y à x fixé. Les formes bilinéaires (cas G = K) jouent un rôle fondamental en algèbre, notamment dans la définition des produits scalaires et des formes quadratiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la linéarité séparée dans chacune des deux variables.
- Refaire un calcul complet sur deux vecteurs de ℝ².
- Distinguer application bilinéaire, application linéaire et produit scalaire.
- Repérer les conditions supplémentaires de symétrie et de non-dégénérescence.
En clair
Prenons deux couples de nombres, par exemple (1, 2) et (3, −1). Une application bilinéaire les combine pour produire un résultat. Si le second couple reste fixe, modifier le premier agit comme dans une application linéaire. La même règle vaut lorsque le premier reste fixe et que seul le second change.
Le mot bilinéaire exprime donc deux linéarités séparées. Il ne signifie pas que l'application est linéaire lorsque les deux entrées varient ensemble.
Définition
Soient trois espaces vectoriels E, F et G sur un même corps K. Une application f associe à un couple formé d'un vecteur x de E et d'un vecteur y de F un vecteur f(x, y) de G. Elle est bilinéaire lorsque, pour chaque y fixé, l'application qui envoie x sur f(x, y) est linéaire, et lorsque, pour chaque x fixé, celle qui envoie y sur f(x, y) est linéaire.
Autrement dit, pour des vecteurs x et x′ de E, des vecteurs y et y′ de F, et des scalaires α et β de K, les deux identités suivantes doivent être vraies :
Ces deux identités regroupent l'additivité et l'homogénéité dans chaque variable.
Lorsque l'espace d'arrivée G est le corps K, les valeurs sont des scalaires et f est appelée une forme bilinéaire. Les produits scalaires réels sont des formes bilinéaires qui satisfont en plus la symétrie et la positivité définie. Lorsqu'une forme bilinéaire b est définie sur E × E, elle associe à tout vecteur x de E la valeur b(x, x), ce qui conduit à une forme quadratique.
De quoi c'est fait
Une application bilinéaire réunit cinq données. Le corps K fournit les scalaires. Les espaces E et F fournissent les deux entrées, tandis que G contient les sorties. Enfin, l'application f fixe la règle qui transforme chaque couple (x, y) en f(x, y). Les trois espaces doivent être construits sur le même corps pour que les deux lois de linéarité utilisent les mêmes scalaires.
La première dépendance relie E à G : une fois y choisi dans F, f se comporte comme une application linéaire de E vers G. La seconde relie F à G : une fois x choisi dans E, f devient linéaire de F vers G. Les noms des vecteurs ou le choix d'une base facilitent les calculs, mais ne définissent pas la bilinéarité. Ces données suffisent à tester f sur des sommes et des multiples scalaires.
Un exemple, pas à pas
Dans l'espace vectoriel ℝ2, considérons la forme b définie par la formule suivante, où x = (x1, x2) et y = (y1, y2) :
Choisissons les données x = (1, 2) et y = (3, −1).
1. Le produit des premières coordonnées vaut 1 × 3 = 3.
2. Le produit pondéré des secondes coordonnées vaut 2 × 2 × (−1) = −4.
3. Leur somme donne le résultat :
2. Le produit pondéré des secondes coordonnées vaut 2 × 2 × (−1) = −4.
3. Leur somme donne le résultat :
La forme renvoie donc le scalaire −1.
Un contrôle de linéarité peut être refait dans la première variable. Avec x′ = (2, −1), on obtient b(x′, y) = 8. D'autre part, x + x′ = (3, 1) et b(x + x′, y) = 7. L'égalité −1 + 8 = 7 confirme l'additivité pour ces vecteurs. Le même développement algébrique, avec des coordonnées quelconques, établit la bilinéarité complète.
En pratique
Pour mesurer un angle ou une longueur dans un espace vectoriel réel, on choisit un produit scalaire plutôt qu'une forme bilinéaire quelconque. Le critère décisif est que la forme soit symétrique et strictement positive sur tout vecteur non nul.
Pour étudier une expression quadratique sur E, on part d'une forme bilinéaire b définie sur E × E et on évalue b(x, x). Cette construction convient lorsque les termes recherchés sont de degré deux ; une application linéaire convient plutôt à une expression de degré un.
Dans un calcul en coordonnées, une matrice permet de rassembler les coefficients d'une forme bilinéaire. On privilégie cette représentation lorsqu'une base est fixée et que plusieurs évaluations doivent être effectuées ; la définition abstraite reste préférable si l'on veut raisonner sans dépendre d'une base.
À ne pas confondre
Application linéaire sur E × F. Une application linéaire du produit vers G additionne les effets des deux composantes. Une application bilinéaire combine au contraire les deux entrées : dans l'exemple, b(2x, 2y) = 4b(x, y), alors qu'une application linéaire du couple donnerait un facteur 2.
Produit scalaire. Tout produit scalaire réel est bilinéaire, mais toute forme bilinéaire n'est pas un produit scalaire. Le test tranche : une forme non symétrique, ou une forme qui prend une valeur négative sur b(x, x), ne peut pas être un produit scalaire réel.
Application sesquilinéaire. Sur un espace vectoriel complexe, un produit scalaire est généralement linéaire dans une variable et conjugue les scalaires dans l'autre. Si multiplier une entrée par un scalaire λ fait apparaître son conjugué, il ne s'agit pas d'une bilinéarité complexe dans cette variable.
Limites et pièges
Faire varier les deux entrées à la fois. La bilinéarité ne donne pas une linéarité globale sur le couple. Dans l'exemple, b(2x, 2y) = 4b(x, y), et non 2b(x, y). Pour appliquer une identité de linéarité, il faut fixer une variable puis travailler sur l'autre.
Prendre la symétrie pour une conséquence. La condition b(x, y) = b(y, x) n'appartient pas à la définition de la bilinéarité. Elle n'a même de sens direct que lorsque les deux variables vivent dans le même espace. Il faut donc la vérifier séparément lorsqu'elle est nécessaire.
Écarter la forme nulle. L'application qui renvoie toujours le vecteur nul est bien bilinéaire, car elle satisfait toutes les identités de linéarité. Son caractère dégénéré ne fait pas disparaître sa bilinéarité ; il faut ajouter explicitement une condition de non-dégénérescence si le raisonnement l'exige.
Tester seulement quelques vecteurs. Le contrôle numérique de l'exemple illustre les identités, mais ne prouve pas à lui seul qu'elles valent partout. Pour conclure, il faut développer les deux expressions avec des vecteurs et des scalaires quelconques.
Pour aller plus loin
La fiche forme bilinéaire approfondit le cas où la valeur obtenue est un scalaire.
La fiche produit scalaire précise les propriétés supplémentaires qui transforment une forme bilinéaire réelle en outil géométrique.
La fiche espace vectoriel reprend le cadre commun aux deux entrées et à la sortie d'une application bilinéaire.
La fiche application linéaire permet de revoir la propriété exigée séparément dans chacune des deux variables.
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