forme multilinéaire

Prenez deux flèches du plan et calculez le nombre obtenu en multipliant leurs coordonnées correspondantes, puis en additionnant. Si la seconde flèche reste fixe, doubler la première double le résultat et additionner deux premières flèches additionne leurs résultats. Le même comportement vaut en fixant la première flèche.

Cette linéarité vérifiée une entrée après l'autre est l'idée d'une forme multilinéaire. Elle accepte plusieurs vecteurs et renvoie un scalaire.

Soit un entier n au moins égal à 1. On considère n espaces vectoriels E₁, E₂, …, Eₙ sur un même corps K. Une forme multilinéaire est une application de leur produit cartésien vers K, linéaire en chaque variable lorsque toutes les autres sont fixées. Précisément, pour chaque position i, on fixe un vecteur x_j de E_j dans toute position j différente de i. Pour tous vecteurs x et y de Eᵢ et tous scalaires α et β de K, on exige :

Pour n = 2, il s'agit d'une forme bilinéaire ; pour n = 3, d'une forme trilinéaire. Si tous les espaces Eᵢ sont un même espace E, on parle d'une forme n-linéaire sur E. Cette coïncidence des espaces n'est pas requise dans la définition générale. Sur Kⁿ, le déterminant de n vecteurs fournit une forme n-linéaire, avec la propriété supplémentaire d'être alternée.

Dans le plan réel, considérons la forme bilinéaire f qui associe à deux vecteurs la somme des produits de leurs coordonnées correspondantes. Le schéma synthétise les deux entrées et le calcul du scalaire obtenu.

Données.
Premier vecteur a = (2, −1).
Second vecteur b = (3, 4).
Vecteur de contrôle c = (1, 2).
Scalaire de contrôle λ = 2.

Étape 1. Avec a et b, le calcul donne :

Étape 2. Gardons b fixe. Comme a + 2c = (4, 3), le membre de gauche vaut 4 × 3 + 3 × 4 = 24.

Étape 3. De l'autre côté, f(a, b) = 2 et f(c, b) = 1 × 3 + 2 × 4 = 11. On obtient donc 2 + 2 × 11 = 24.

Contrôle. L'égalité f(a + 2c, b) = f(a, b) + 2f(c, b) est vérifiée. Le même développement algébrique dans la seconde entrée prouve sa linéarité ; f est donc bilinéaire.

Pour vérifier qu'une expression à plusieurs vecteurs définit une forme multilinéaire, on fixe toutes les entrées sauf une. On contrôle dans cette position l'addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire, puis on recommence pour chaque position.

Dans le calcul d'un déterminant, on peut modifier une colonne à la fois. La multilinéarité décompose alors le déterminant d'une somme de colonnes en une somme de déterminants. Si l'on échange deux colonnes, la propriété alternée, distincte de la seule multilinéarité, intervient aussi.

Pour traiter une application bilinéaire, la matrice associée dans des bases choisies est souvent plus commode. Pour une application à davantage d'entrées ou sans bases fixées, le langage des produits tensoriels conserve la dépendance multilinéaire sans privilégier des coordonnées.

Multilinéaire et linéaire sur le produit. La fonction réelle f(x, y) = xy est bilinéaire, car chaque variable fixée laisse une application linéaire. Mais elle n'est pas linéaire comme fonction de la paire (x, y) : f(1, 1) = 1, tandis que f(1, 0) + f(0, 1) = 0.

Multilinéaire et forme linéaire. Une forme linéaire n'a qu'une variable vectorielle. Une forme bilinéaire en a deux, et une forme n-linéaire en a n. Le cas n = 1 coïncide bien avec la notion de forme linéaire.

Multilinéaire et alternée. L'alternance est une propriété supplémentaire : la valeur s'annule lorsque deux arguments sont égaux. La forme f((x, y), (u, v)) = xu + yv est bilinéaire, mais pas alternée, puisque f((1, 0), (1, 0)) = 1.

Un argument nul force la valeur à zéro. Si une entrée vaut le vecteur nul, la linéarité dans cette position impose une valeur nulle. Une expression qui conserve un terme constant dans ce cas ne peut donc pas être multilinéaire.

La diagonale ne suffit pas. Observer seulement les valeurs f(x, x) d'une application à deux variables peut masquer son comportement hors diagonale. Il faut tester la linéarité dans chaque entrée, les autres étant fixées.

La symétrie n'est pas automatique. Une forme bilinéaire peut donner des valeurs différentes quand on inverse ses deux arguments. Avant de permuter les entrées, il faut disposer d'une hypothèse de symétrie, d'antisymétrie ou d'alternance.

La forme nulle est un cas valide. L'application qui renvoie toujours zéro satisfait toutes les identités de linéarité. La multilinéarité seule n'impose donc ni valeur non nulle ni propriété de non-dégénérescence.

La fiche forme bilinéaire approfondit le cas à deux variables, notamment sa représentation matricielle dans des bases choisies.

La fiche Produit tensoriel présente la construction qui transforme un problème multilinéaire en un problème linéaire sur un nouvel espace.

La fiche application linéaire permet de revoir la propriété exigée séparément dans chacune des variables.

La fiche espace vectoriel rappelle le cadre commun aux entrées et le rôle du corps de scalaires.