tenseur euclidien

Prenons deux flèches du plan, de coordonnées (2, 1) et (−1, 3). Leur produit scalaire reçoit ces deux flèches et renvoie le nombre 1. Si l'on double l'une des flèches, le résultat double aussi.

Un tenseur euclidien généralise ce geste : il possède un nombre fixé de places pour des vecteurs et produit un réel. Sa règle est linéaire dans chaque place prise séparément. Le nombre de places est son ordre.

On considère un espace vectoriel réel E muni d'un produit scalaire et un entier p au moins égal à 1. Un tenseur euclidien covariant d'ordre p est une application T qui reçoit p vecteurs de E et renvoie un nombre réel. Son domaine est le produit de p copies de E.

La condition décisive est la linéarité séparée. Pour chaque place, si les autres vecteurs restent fixés, T transforme une combinaison linéaire en la même combinaison des résultats. Pour la première place, avec des vecteurs u, v, v₂, …, v_p et des réels a et b, cette condition s'écrit :

La même identité doit valoir dans chacune des p places. Le produit scalaire est le cas d'ordre 2 le plus familier : il est en plus symétrique et défini positif. Ces deux propriétés ne sont toutefois pas exigées d'un tenseur d'ordre 2 quelconque. Une base fournit des composantes pour calculer, mais le tenseur est l'application elle-même et ne dépend pas de cette base.

Cinq éléments organisent l'objet. L'espace réel E fournit les vecteurs. Son produit scalaire donne le cadre euclidien. L'entier p fixe le nombre de places. Le p-uplet de vecteurs remplit ces places, et la règle T associe un réel à ce p-uplet.

L'ordre p détermine donc à la fois le domaine de T et le nombre d'indices de ses composantes. Après le choix d'une base formée des vecteurs e₁, …, e_n, chaque composante est obtenue en évaluant T sur p vecteurs de cette base. Connaître toutes ces composantes suffit à reconstruire T par multilinéarité. Le choix de base change les nombres affichés, pas l'application abstraite. Le produit scalaire n'est pas nécessaire à la seule multilinéarité ; il caractérise ici le cadre euclidien et, en dimension finie, permet d'identifier vecteurs et formes linéaires.

Données. Dans le plan réel ℝ² avec son produit scalaire usuel, on prend le vecteur u = (2, 1) et le vecteur v = (−1, 3). Le tenseur g est précisément ce produit scalaire, d'ordre 2.

1. On multiplie les coordonnées de même rang : 2 × (−1) donne −2, tandis que 1 × 3 donne 3.

2. On additionne ces deux produits. Le calcul complet est : $g(u,v)=2\times (-1)+1\times 3=1g(u,v)=2\backslash times(-1)+1\backslash times3=1$. La figure met en regard les deux vecteurs et cette contraction en un seul réel.

3. Le résultat est le nombre réel 1. Il n'a pas d'unité ici, puisque les coordonnées choisies sont sans unité.

Contrôle. Si l'on double u, on obtient (4, 2), puis g(2u, v) = 4 × (−1) + 2 × 3 = 2. Le résultat a bien doublé : ce contrôle vérifie la linéarité dans la première place sur cet exemple.

Pour calculer dans une base, on range les composantes d'un tenseur d'ordre 2 dans une matrice. Si la règle possède davantage de places, un tableau à p indices remplace la matrice ; le nombre d'indices indique immédiatement l'ordre.

En mécanique des milieux continus, un tenseur intervient lorsqu'une quantité dépend de plusieurs directions à la fois. Une valeur scalaire peut suffire lorsque la quantité considérée ne requiert pas plusieurs directions d'entrée distinctes.

En géométrie riemannienne, le produit scalaire sert de modèle local. Lorsque cette règle varie d'un point à l'autre, on emploie un champ de tenseurs plutôt qu'un tenseur unique fixé sur un seul espace vectoriel.

Tenseur euclidien et tenseur général. La définition retenue ici décrit une forme p-linéaire à valeurs réelles, donc un tenseur entièrement covariant. Un tenseur général peut aussi recevoir des formes linéaires ; la nature de ses entrées tranche.

Tenseur et champ de tenseurs. Un tenseur agit sur les vecteurs d'un espace fixé. Un champ attribue un tenseur à chaque point d'un espace géométrique. Une règle qui change avec le point appartient au second cas.

Forme bilinéaire et forme quadratique. Le produit scalaire g reçoit deux vecteurs. L'expression qui associe à u le nombre g(u, u) ne possède qu'une entrée et varie quadratiquement : doubler u multiplie sa valeur par 4, non par 2.

Ordre 1. Avec une seule place, le tenseur est simplement une forme linéaire. Il faut tester la linéarité sur cette unique entrée, sans chercher une matrice à deux indices.

Ordre 0. Selon la convention courante, un tenseur d'ordre 0 est un scalaire. La définition formulée avec p vecteurs suppose p au moins égal à 1 ; il faut annoncer la convention avant d'inclure le cas 0.

Ordre 2. Deux places ne garantissent ni la symétrie ni la positivité. Il faut permuter les entrées pour tester la symétrie et examiner T(u, u) pour tout vecteur non nul avant de parler de produit scalaire.

Composantes. Des tableaux différents peuvent représenter le même tenseur dans deux bases. Comparer les coefficients terme à terme sans appliquer la règle de changement de base crée donc un faux désaccord.

Le glossaire tenseur replace la forme covariante étudiée ici dans la famille plus générale des tenseurs.

La fiche forme multilinéaire approfondit la linéarité séparée qui définit les p places de T.

La fiche produit scalaire détaille l'exemple d'ordre 2, sa symétrie et sa positivité.