Forme linéaire

Prenons un couple de nombres, par exemple (3, 4), et attribuons-lui le nombre 2 × 3 − 4, soit 2. Cette règle transforme un vecteur en un seul scalaire. Elle respecte les additions et les changements d’échelle : additionner deux vecteurs avant le calcul revient à additionner leurs résultats, et doubler un vecteur double le résultat. Une règle qui conserve ces deux opérations est une forme linéaire.

Soit E un espace vectoriel sur un corps de scalaires K, par exemple les nombres réels ou complexes. Une forme linéaire sur E est une application f de E vers K. Pour tous vecteurs x et y de E et tout scalaire λ de K, elle vérifie simultanément :

Ces deux identités expriment l’additivité et l’homogénéité. Elles entraînent notamment f(0) = 0. Toutes les formes linéaires sur E forment un espace vectoriel, appelé espace dual et noté E^*. Si E est de dimension finie n, son dual est aussi de dimension n. Le noyau d’une forme linéaire non nulle est l’ensemble des vecteurs envoyés sur 0 ; en dimension finie, c’est un hyperplan. Une forme linéaire est aussi appelée fonctionnelle linéaire, notamment en analyse fonctionnelle.

Dans le plan réel, considérons la règle f qui associe au vecteur (x, y) le nombre 2x − y.
Données : le vecteur u = (3, 4), le vecteur v = (1, 2) et les scalaires 2 et −1.

1. On évalue u : $f(3,4)=2\times 3-4=2f(3,4)=2\backslash times3-4=2$.

2. On évalue v : $f(1,2)=2\times 1-2=0f(1,2)=2\backslash times1-2=0$. Le vecteur v appartient donc au noyau de f.

3. On combine les vecteurs : 2u − v = (5, 6), puis $f(5,6)=2\times 5-6=4f(5,6)=2\backslash times5-6=4$.

4. On contrôle la linéarité sur ce calcul : $2f(u)-f(v)=2\times 2-0=42f(u)-f(v)=2\backslash times2-0=4$. Les deux chemins donnent bien le même scalaire, 4. Ce contrôle ne prouve pas à lui seul la linéarité pour tous les vecteurs, mais le calcul symbolique f(x, y) = 2x − y satisfait les deux identités de la définition.

Pour décrire une contrainte linéaire dans le plan, on cherche les vecteurs annulés par une forme. Avec f(x, y) = 2x − y, la contrainte f(x, y) = 0 donne la droite y = 2x. Si la contrainte comporte un terme constant non nul, une application affine est plus adaptée.

En coordonnées, une forme linéaire combine les composantes d’un vecteur avec des coefficients fixes. On peut ainsi comparer deux calculs en vérifiant que la combinaison des entrées produit la même combinaison des résultats.

En analyse fonctionnelle, une fonctionnelle linéaire extrait une information scalaire d’un objet vectoriel. Lorsque la stabilité vis-à-vis des limites importe, la linéarité ne suffit plus : on vérifie aussi la continuité.

En géométrie différentielle, la différentielle d’une fonction scalaire différentiable, prise en un point, agit comme une forme linéaire sur les vecteurs tangents. Elle mesure alors la variation au premier ordre dans chaque direction.

Application affine. Une forme linéaire envoie toujours le vecteur nul sur 0. La règle g(x, y) = 2x − y + 1 est affine, mais pas linéaire, puisque g(0, 0) = 1.

Application linéaire quelconque. Toute forme linéaire est une application linéaire, mais son espace d’arrivée est précisément le corps K. La règle qui envoie (x, y) sur (2x, −y) est linéaire de ℝ² vers ℝ², mais ce n’est pas une forme linéaire.

Forme bilinéaire. Une forme bilinéaire reçoit deux vecteurs et est linéaire séparément par rapport à chacun. Le produit usuel xx′ + yy′ dépend de deux vecteurs ; la forme f(x, y) = 2x − y n’en reçoit qu’un.

Forme nulle. Si f envoie tout vecteur sur 0, son noyau est E tout entier, et non un hyperplan. Il faut donc vérifier que f n’est pas nulle avant d’identifier son noyau à un hyperplan.

Dimension infinie. L’égalité entre les dimensions de E et de E^* est garantie ici lorsque E est de dimension finie. En dimension infinie, on ne doit pas la prolonger automatiquement au dual algébrique.

Linéarité et continuité. Sur un espace vectoriel normé de dimension infinie, une forme linéaire algébrique n’est pas nécessairement continue. En analyse fonctionnelle, il faut préciser si l’on travaille avec le dual algébrique ou avec le dual topologique, constitué des formes linéaires continues.

Vérification sur quelques vecteurs. Des essais numériques concordants ne prouvent pas une identité valable pour tous les vecteurs. Il faut établir symboliquement l’additivité et l’homogénéité, ou utiliser un résultat qui les garantit.

Le glossaire Hyperplan prolonge l’étude du noyau d’une forme linéaire non nulle et montre comment une équation linéaire décrit un sous-espace de codimension 1.