espace dual

Prenez un vecteur décrit par deux coordonnées. On peut lui associer un seul nombre en multipliant chaque coordonnée par un coefficient choisi, puis en additionnant les résultats. Si le vecteur est doublé, ce nombre double aussi ; si deux vecteurs sont additionnés, leurs nombres s’additionnent.

Chacune de ces règles de calcul est une forme linéaire. L’espace dual rassemble toutes les formes linéaires possibles sur l’espace vectoriel de départ. Il décrit donc toutes les manières linéaires d’extraire un scalaire d’un vecteur.

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Son espace dual, noté E*, est l’ensemble des applications linéaires de E vers K. Une telle application est appelée forme linéaire. Si φ est une forme linéaire, si u et v sont des vecteurs de E, et si α et β sont des scalaires de K, sa linéarité s’écrit $\phi (\alpha u+\beta v)=\alpha \phi (u)+\beta \phi (v)\backslash varphi(\backslash alpha\; u+\backslash beta\; v)=\backslash alpha\backslash varphi(u)+\backslash beta\backslash varphi(v)$.

L’addition de deux formes et leur multiplication par un scalaire se définissent valeur par valeur. Ces opérations font de E* un espace vectoriel sur le même corps K. Lorsque E a une dimension finie n, E* a lui aussi la dimension n. Une base de E permet alors de construire une base duale et un isomorphisme entre E et E*, mais cet isomorphisme dépend d’un choix : il n’est pas canonique.

Si E est muni d’une norme, le dual topologique ne retient que les formes linéaires continues. Cette précision est centrale en analyse fonctionnelle, notamment dans la dualité des espaces de Lebesgue. Les formes linéaires interviennent aussi dans l’étude des formes bilinéaires, qui prennent deux vecteurs en entrée au lieu d’un seul.

La construction repose sur quatre éléments. Le corps K fournit les scalaires. L’espace vectoriel E fournit les vecteurs auxquels les formes s’appliquent. Les applications linéaires φ de E vers K constituent les éléments de E*. Enfin, l’addition et la multiplication par un scalaire, effectuées valeur par valeur, donnent à cet ensemble sa structure d’espace vectoriel.

Le choix de E et de K détermine donc quelles formes appartiennent au dual. En dimension finie, une base de E détermine une base duale : chaque forme de cette base extrait une coordonnée. Une norme ajoute une exigence différente, la continuité, et conduit au dual topologique. Ces données suffisent à évaluer une forme sur un vecteur, à additionner des formes et, en dimension finie, à calculer leurs coordonnées dans une base duale.

Dans le plan vectoriel réel, on veut vérifier qu’une règle appartient au dual et comparer sa valeur sur deux vecteurs.
Données :
– l’espace E est ℝ² ;
– le corps des scalaires est ℝ ;
– la règle φ associe au vecteur de coordonnées (x, y) le nombre 2x − y ;
– les vecteurs sont u = (1, 2) et v = (2, 1).

1. Écrivons p = (p₁, p₂) et q = (q₁, q₂). Pour des scalaires α et β, le calcul coordonnée par coordonnée donne $\phi (\alpha p+\beta q)=2(\alpha p_1+\beta q_1)-(\alpha p_2+\beta q_2)=\alpha (2p_1-p_2)+\beta (2q_1-q_2)\backslash varphi(\backslash alpha\; p+\backslash beta\; q)=2(\backslash alpha\; p\_1+\backslash beta\; q\_1)-(\backslash alpha\; p\_2+\backslash beta\; q\_2)=\backslash alpha(2p\_1-p\_2)+\backslash beta(2q\_1-q\_2)$, donc $\phi (\alpha p+\beta q)=\alpha \phi (p)+\beta \phi (q)\backslash varphi(\backslash alpha\; p+\backslash beta\; q)=\backslash alpha\backslash varphi(p)+\backslash beta\backslash varphi(q)$. La règle φ est donc une forme linéaire.
2. On évalue u : φ(u) = 2 × 1 − 2 = 0.
3. On évalue v : φ(v) = 2 × 2 − 1 = 3.
4. On contrôle l’addition : φ(u + v) = φ(3, 3) = 3, tandis que φ(u) + φ(v) = 0 + 3 = 3.

Le résultat est un scalaire réel : φ(u) vaut 0 et φ(v) vaut 3. Le vecteur u appartient au noyau de φ, représenté par la droite rouge d’équation 2x − y = 0. La figure montre aussi que v n’est pas sur cette droite. Le contrôle par u + v confirme directement l’additivité.

En algèbre linéaire, une forme du dual extrait une information scalaire d’un vecteur, comme une combinaison de ses coordonnées. Lorsque le résultat attendu doit rester un vecteur, on emploie plutôt une application linéaire à valeurs dans un espace vectoriel non réduit au corps K.

Pour étudier une forme bilinéaire, on peut fixer l’un de ses deux vecteurs. L’expression restante devient alors une forme linéaire sur l’autre variable. Si les deux entrées doivent varier simultanément, la forme bilinéaire reste l’objet adapté.

En analyse fonctionnelle, on teste des vecteurs d’un espace normé avec des formes linéaires continues. Le dual topologique est alors pertinent. Le dual algébrique, qui admet aussi des formes non continues, ne convient pas lorsque la continuité fait partie du problème.

L’espace E et son dual E*. Les éléments de E sont des vecteurs ; ceux de E* sont des applications qui transforment un vecteur en scalaire. En dimension finie, les deux espaces sont isomorphes, mais aucun isomorphisme n’est imposé sans choix supplémentaire.

Forme linéaire et forme bilinéaire. Une forme linéaire reçoit un seul vecteur. Une forme bilinéaire en reçoit deux et est linéaire séparément par rapport à chacun. L’expression φ(x, y) = 2x − y est une forme linéaire sur ℝ², tandis qu’une expression bilinéaire demande deux vecteurs complets.

Dual algébrique et dual topologique. Le premier rassemble toutes les formes linéaires. Sur un espace normé, le second ne conserve que les formes linéaires continues. Une forme linéaire non continue appartient donc au dual algébrique, mais pas au dual topologique.

Dimension infinie. L’égalité des dimensions de E et de E* donnée dans la définition concerne la dimension finie. Si aucune dimension finie n’est établie, il ne faut pas transférer automatiquement cette conclusion ; il faut étudier le dual correspondant au cadre considéré.

Isomorphisme non canonique. Écrire E = E* masque un choix. Même en dimension finie, l’identification usuelle dépend par exemple d’une base choisie. Il faut conserver les deux espaces distincts ou annoncer explicitement l’isomorphisme employé.

Continuité oubliée. Dans un espace normé, une forme simplement linéaire ne satisfait pas nécessairement l’exigence du dual topologique. Le symptôme est l’absence de toute vérification de continuité. Il faut prouver cette continuité ou parler seulement du dual algébrique.

Forme nulle. La règle qui associe 0 à tout vecteur appartient bien au dual. Elle ne distingue aucun vecteur, mais elle respecte la linéarité. Il faut donc la conserver dans E* au lieu d’exiger qu’une forme fournisse une valeur non nulle.

Forme linéaire — Pour approfondir les applications qui constituent les éléments d’un espace dual.

Base duale — Pour voir comment une base de dimension finie fournit des formes coordonnées.

forme bilinéaire — Pour prolonger la dualité vers les applications scalaires à deux entrées vectorielles.

espace de Lebesgue — Pour situer un cadre majeur où intervient la dualité en analyse fonctionnelle.