bidual

Prenons un vecteur x et toutes les formes linéaires capables de lui attribuer un nombre. Au lieu d'observer séparément ces résultats, on rassemble la règle qui, à chaque forme, renvoie sa valeur en x. Cette nouvelle règle est elle-même linéaire : elle appartient au dual du dual, appelé bidual.

Ainsi, chaque vecteur possède une image naturelle dans le bidual. Si toutes les formes linéaires du bidual proviennent de cette manière d'un vecteur, l'espace est réflexif.

Soit E un espace vectoriel sur un corps k. Son dual E' est l'espace des formes linéaires de E vers k. Le bidual E'' est le dual de E' : ses éléments sont donc les formes linéaires définies sur E'.

À chaque vecteur x de E, l'application canonique J_E associe la forme d'évaluation qui envoie une forme linéaire φ sur le scalaire φ(x). Cette définition s'écrit : $J_E(x)(\phi )=\phi (x)J\_E(x)(\backslash varphi)=\backslash varphi(x)$. L'application J_E est linéaire et injective : deux vecteurs distincts peuvent être séparés par une forme linéaire. Le mot canonique signifie que cette construction ne dépend d'aucun choix de base.

En dimension finie, J_E est toujours surjective, donc c'est un isomorphisme de E sur E''. En dimension infinie, il faut préciser le cadre. Pour le dual algébrique, J_E n'est pas surjective. Pour un espace normé, les duals usuels ne contiennent que les formes linéaires continues ; l'espace est alors dit réflexif exactement lorsque l'application canonique vers le bidual continu est surjective.

On travaille dans l'espace E = ℝ². Les données sont le vecteur x = (2, −1) et la forme linéaire φ définie par φ(u, v) = 3u + 4v. Le but est de calculer la valeur de l'élément J_E(x) du bidual sur φ.

1. Une forme linéaire quelconque de E' s'écrit φ_a,b(u, v) = au + bv, avec deux réels a et b.

2. Le vecteur x définit sur E' la règle d'évaluation J_E(x) : elle remplace u par 2 et v par −1 dans chaque forme. On obtient donc J_E(x)(φ_a,b) = 2a − b.

3. Pour la forme annoncée, a = 3 et b = 4. Le calcul exact est :
J_E(x)(φ) = φ(2, −1) = 3 × 2 + 4 × (−1) = 6 − 4 = 2.

Le résultat est le réel 2. Pour contrôler le mécanisme, la forme ψ(u, v) = u donne J_E(x)(ψ) = 2, tandis que ω(u, v) = v donne −1. Ces deux valeurs retrouvent exactement les deux coordonnées de x. La figure synthétise cette double évaluation.

Retrouver un vecteur par ses évaluations. Dans ℝⁿ, on applique l'élément du bidual aux formes qui lisent successivement chaque coordonnée. Les valeurs obtenues reconstituent le vecteur associé. Si la base n'est pas fixée, on conserve plutôt l'écriture canonique J_E(x), indépendante des coordonnées.

Décider si l'espace est réflexif. On étudie si chaque forme linéaire continue sur le dual est une évaluation en un vecteur de l'espace. La surjectivité de J_E donne une réponse positive ; exhiber un élément du bidual qui n'est aucune évaluation donne une réponse négative.

Choisir le bon dual. En algèbre linéaire, toutes les formes linéaires sont admises. Dans un espace normé, le dual continu est le cadre pertinent dès que la norme et la continuité interviennent ; le dual algébrique répond alors à une autre question.

Bidual et dual. Un élément du dual E' agit sur les vecteurs de E, tandis qu'un élément du bidual E'' agit sur les formes linéaires de E'. Dans l'exemple, φ reçoit le vecteur (2, −1), mais J_E(2, −1) reçoit la forme φ.

Plongement canonique et isomorphisme choisi. L'application J_E est définie par l'évaluation, sans base. Un isomorphisme entre E et son dual, lorsqu'il existe, dépend généralement d'un choix supplémentaire, par exemple d'une base ou d'un produit scalaire.

Le symbole E'' ne suffit pas à fixer le cadre. Si aucune topologie ni norme n'est donnée, il désigne normalement le bidual algébrique. Si la continuité intervient, il faut vérifier que E' et E'' sont bien les duals continus avant de parler de réflexivité.

Injectif ne signifie pas surjectif. Le plongement canonique identifie toujours E à un sous-espace de E'', mais cela ne prouve pas que tout le bidual est atteint. En dimension finie, l'égalité des dimensions assure la surjectivité ; en dimension infinie, cet argument disparaît.

Le bidual n'est pas littéralement l'espace initial. Même lorsque J_E est un isomorphisme, un vecteur x et la forme d'évaluation J_E(x) sont des objets de types différents. Il faut les identifier par l'application canonique, non les déclarer égaux.

Dimension infinie ne signifie pas automatiquement non réflexif. Pour le bidual continu d'un espace normé, la réflexivité dépend de l'espace. La dimension seule ne tranche donc pas ; il faut tester la surjectivité de l'application canonique.

espace dual — Pour approfondir les formes linéaires qui constituent le premier dual avant de passer au bidual.

Forme linéaire — Pour préciser l'objet sur lequel agit un élément du bidual et revoir sa linéarité.

Refléxif (espace) — Pour prolonger le critère de surjectivité qui identifie les espaces réflexifs.

espace de Banach — Pour situer la réflexivité dans le cadre des espaces normés complets et des formes linéaires continues.