AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Refléxif (espace)
Un espace de Banach est dit réflexif si l'injection canonique de l'espace dans son bidual est surjective, et réalise donc une identification isométrique canonique de l'espace avec son bidual. Les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour 1 < p < infini sont réflexifs. Un espace réflexif a la propriété que toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente. Cette propriété fournit un mécanisme de compacité faible fondamental en analyse fonctionnelle et en optimisation ; l'existence d'un minimiseur requiert en outre les hypothèses appropriées au problème variationnel, notamment de fermeture, de faible semi-continuité et de coercivité ou de bornitude.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un espace de Banach, son dual, son bidual et l'injection canonique.
- Vérifier la surjectivité de l'injection canonique dans le cas de R².
- Interpréter correctement la sous-suite faiblement convergente issue d'une suite bornée.
- Repérer la portée exacte de l'exemple des espaces Lp lorsque 1 < p < infini.
En clair
Prenons un vecteur du plan, par exemple (1, 2). Chaque mesure linéaire lui associe un nombre : sa première coordonnée, sa seconde ou une combinaison des deux. La collection de toutes ces réponses décrit le vecteur sans le regarder directement.
Le bidual rassemble précisément des objets qui donnent un nombre à chacune de ces mesures. Un espace est réflexif lorsque tout objet ainsi obtenu vient réellement d'un élément de l'espace. Le détour par deux niveaux de mesures ne crée donc aucun élément supplémentaire.
Définition
Soit un espace de Banach X, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. Son dual X* est l'espace des formes linéaires continues sur X. Le dual de X*, noté X**, est le bidual de X. À chaque élément x de X, l'injection canonique J associe la forme qui évalue les éléments du dual en x : , pour toute forme linéaire continue f de X*.
Cette application J est toujours linéaire et conserve la norme. L'espace X est réflexif lorsque J est surjective : chaque élément du bidual X** est alors J(x) pour un élément x de X. C'est en ce sens précis que X s'identifie isométriquement à son bidual ; un simple isomorphisme abstrait entre X et X** ne suffit pas à établir la réflexivité.
Les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour 1 < p < ∞ sont réflexifs. Dans un espace de Banach réflexif, toute suite bornée possède une sous-suite faiblement convergente. Cette compacité séquentielle faible explique le rôle de la réflexivité en analyse fonctionnelle et dans certains problèmes variationnels où l'on cherche un minimiseur.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent la réflexivité. L'espace de Banach X fournit les vecteurs et leur norme. Son dual X* contient les formes linéaires continues, qui mesurent ces vecteurs. Le bidual X** contient à son tour les formes linéaires continues agissant sur X*. Enfin, l'injection canonique J relie X à X** en transformant x en la règle « f est envoyée sur f(x) ».
La construction du bidual dépend donc d'abord du dual, tandis que J dépend de la manière dont chaque forme du dual agit sur X. La norme rend ces applications continues et permet à J de conserver les distances à l'origine. Ces données construisent toujours une copie isométrique de X dans X**. Ce qui définit la réflexivité n'est ni une base ni une représentation particulière : c'est l'absence d'éléments du bidual en dehors de cette copie canonique.
Un exemple, pas à pas
Considérons le plan réel ℝ2 muni de sa norme euclidienne. Les données sont un élément Φ de son bidual, les deux mesures de coordonnées p1(a, b) = a et p2(a, b) = b, puis les nombres α = Φ(p1) et β = Φ(p2).
1. Toute forme linéaire f sur ℝ2 s'écrit à l'aide de deux nombres u et v : .
2. Par linéarité de Φ, son action sur f vaut .
3. Posons x = (α, β). Alors f(x) = uα + vβ, donc Φ(f) = f(x) pour toute forme f. Autrement dit, Φ = J(x).
Le raisonnement vaut pour tout Φ du bidual : J est surjective et ℝ2 est réflexif. Pour contrôler le calcul avec x = (1, 2) et f(a, b) = 3a − b, on obtient f(x) = 3 × 1 − 2 = 1, puis J(x)(f) = 1 également.
En pratique
En analyse fonctionnelle, on travaille souvent avec une suite bornée dont la convergence en norme n'est pas disponible. Dans un espace réflexif, on peut alors extraire une sous-suite faiblement convergente et étudier sa limite à travers toutes les formes linéaires continues.
Dans certains problèmes variationnels, une suite de candidats approche la plus petite valeur recherchée tout en restant bornée. La réflexivité fournit une sous-suite faiblement convergente ; ce passage à la limite contribue à établir l'existence d'un minimiseur lorsque les autres hypothèses du problème le permettent.
Le choix du cadre compte aussi. Les espaces de Hilbert et les espaces Lp avec 1 < p < ∞ offrent la réflexivité. Si l'exposant sort de cet intervalle, cette seule famille d'exemples ne permet plus de conclure et il faut vérifier l'espace considéré autrement.
À ne pas confondre
Réflexif et espace de Hilbert. Tout espace de Hilbert est réflexif, mais « être de Hilbert » décrit une structure issue d'un produit scalaire, tandis que « être réflexif » teste la surjectivité de l'injection dans le bidual. La preuve sur ℝ2 établit la seconde propriété par le bidual, même si la norme euclidienne fournit aussi un produit scalaire.
Convergence faible et convergence en norme. Une sous-suite faiblement convergente est contrôlée par toutes les formes linéaires continues ; l'énoncé de réflexivité ne promet pas que sa distance à la limite tende vers zéro. Il faut donc tester la norme séparément si une convergence forte est nécessaire.
Isomorphisme abstrait et identification canonique. La réflexivité exige que l'application J définie par J(x)(f) = f(x) atteigne tout le bidual. Trouver une autre bijection linéaire entre X et X** ne vérifie pas ce critère.
Limites et pièges
Une suite bornée ne converge pas nécessairement elle-même. La propriété garantit seulement l'existence d'une sous-suite faiblement convergente. Si plusieurs extractions donnent des limites différentes, il faut une information supplémentaire pour conclure sur toute la suite.
Le seuil sur p est strict. L'exemple des espaces Lp fourni ici couvre 1 < p < ∞. Aux valeurs charnières p = 1 et p = ∞, cet énoncé ne s'applique pas ; la réflexivité doit être examinée sans extrapoler depuis l'intervalle ouvert.
La réflexivité n'est pas, à elle seule, un théorème d'existence universel. Dans un problème variationnel, elle apporte la sous-suite faiblement convergente. Les hypothèses qui permettent de transmettre les contraintes et la valeur à la limite doivent encore être vérifiées.
Pour aller plus loin
Espace de Banach — Revoir la complétude et la norme qui constituent le cadre où se définit la réflexivité.
Bidual — Approfondir la construction de X** avant d'étudier la surjectivité de l'injection canonique.
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