théorème de Banach

Imaginez une transformation qui aplatit un carré ouvert sur un intervalle. Si elle est linéaire, continue et atteint chaque point de l'espace d'arrivée, l'intervalle obtenu reste ouvert : il ne perd pas soudain ses marges. Le théorème de Banach affirme que ce comportement demeure vrai dans les espaces de Banach, même lorsqu'ils ont une infinité de dimensions.

Sa conséquence la plus utile concerne une transformation bijective. Dès qu'elle est linéaire et continue entre deux espaces de Banach, revenir en arrière est aussi une opération continue.

Le théorème de Banach présenté ici est le théorème de l'application ouverte. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet : toute suite dont les termes finissent par être arbitrairement proches converge vers un élément de cet espace. Une application est ouverte lorsqu'elle transforme chaque ensemble ouvert du domaine en un ensemble ouvert du codomaine.

On note E₁ l'espace de départ, E₂ l'espace d'arrivée et f l'application. Si E₁ et E₂ sont des espaces de Banach et si f est à la fois linéaire, continue et surjective, alors f est ouverte. La surjectivité signifie que chaque élément de E₂ possède au moins un antécédent dans E₁.

Si f est en plus injective, elle est bijective. Son application inverse f⁻¹ est alors linéaire et continue. Ainsi, f et f⁻¹ préservent toutes deux la structure topologique : f est un isomorphisme topologique. Le résultat porte le nom de Stefan Banach (1892–1945), mathématicien polonais associé à plusieurs théorèmes fondamentaux de l'analyse fonctionnelle.

Soient E₁ et E₂ deux espaces de Banach. Si une application f de E₁ vers E₂ est linéaire, continue et surjective, alors, pour tout ouvert U de E₁, l'image f(U) est ouverte dans E₂.

Lorsque f est aussi injective, l'énoncé s'applique à une bijection. L'image par f d'un ouvert est alors l'image réciproque de cet ouvert par f⁻¹ ; l'ouverture de f entraîne donc la continuité de f⁻¹.

Le domaine et le codomaine doivent être des espaces vectoriels normés complets. L'application doit respecter les combinaisons linéaires, être continue et atteindre tout le codomaine. L'injectivité n'est pas requise pour conclure que l'application est ouverte ; elle devient nécessaire seulement si l'on veut parler d'une application inverse.

Si la surjectivité échoue, l'image d'un ouvert peut n'être ouverte que dans le sous-espace image, et non dans tout le codomaine. Par exemple, l'inclusion de la droite dans le plan est linéaire et continue, mais son image n'est pas ouverte dans le plan. Il faut alors raisonner dans l'image munie de sa topologie de sous-espace, ou établir la surjectivité avant d'appliquer le théorème.

Considérons le plan réel E₁ = ℝ² muni de la norme du maximum, la droite réelle E₂ = ℝ munie de la valeur absolue, et l'application T définie par $T(x,y)=x+yT(x,y)=x+y$. Prenons pour ouvert U le carré formé des points dont les deux coordonnées sont strictement comprises entre −1 et 1.

1. L'application T est linéaire et continue. Elle est surjective, car tout nombre réel t est l'image du point (t, 0).

2. Pour tout point (x, y) de U, les inégalités −1 < x < 1 et −1 < y < 1 donnent −2 < x + y < 2. Ainsi, T(U) est contenu dans l'intervalle ]−2, 2[.

3. Réciproquement, si −2 < t < 2, le point (t/2, t/2) appartient à U et son image vaut t. On obtient donc exactement T(U) = ]−2, 2[, qui est ouvert dans ℝ.

Le contrôle se refait aux bords : les valeurs −2 et 2 exigeraient respectivement le point (−1, −1) ou (1, 1), absent du carré ouvert. Elles n'appartiennent donc pas à l'image.

Pour montrer qu'une application linéaire surjective ne referme pas localement les ensembles, on vérifie d'abord que les deux espaces sont complets et que l'application est continue. Le théorème remplace alors une étude directe de l'image de chaque ouvert.

Pour établir la continuité d'une inverse linéaire, on prouve souvent que l'application directe est continue et bijective entre espaces de Banach. Cette voie est préférable à une estimation explicite lorsque aucune formule maniable de l'inverse n'est disponible.

Si l'application n'est pas surjective ou si l'un des espaces n'est pas complet, le théorème ne tranche pas. Il faut alors travailler dans un codomaine adapté, compléter les espaces ou obtenir directement une estimation de continuité.

Le théorème du point fixe de Banach concerne une application contractante d'un espace métrique complet non vide dans lui-même et garantit l'existence d'un unique point fixe. Le critère qui tranche est l'objet de la conclusion : un point x tel que f(x) = x, et non l'image ouverte d'un ensemble ouvert.

Le théorème de Hahn–Banach prolonge des formes linéaires sous une contrainte. Si le problème demande d'étendre une forme depuis un sous-espace, c'est ce résultat qu'il faut examiner, et non le théorème de l'application ouverte.

Le théorème de Banach–Steinhaus porte sur une famille d'opérateurs linéaires continus d'un espace de Banach vers un espace normé : leur bornitude ponctuelle entraîne la bornitude uniforme de leurs normes opératorielles. La présence d'une famille d'opérateurs, plutôt que d'une seule surjection, distingue les deux énoncés.

Une application ouverte n'envoie pas nécessairement les fermés sur des fermés. Le symptôme du piège est un raisonnement qui remplace automatiquement « ouvert » par « fermé » ; il faut étudier séparément l'image du fermé considéré.

La continuité seule ne rend pas une application ouverte. Une fonction constante est continue, mais l'image de tout ouvert non vide est un singleton, qui n'est pas ouvert dans ℝ. Il faut contrôler la linéarité et surtout la surjectivité dans le cadre du théorème.

La complétude des deux espaces n'est pas une décoration technique. Sans elle, une bijection linéaire continue peut avoir une inverse discontinue. Lorsque l'un des espaces n'est pas de Banach, il faut démontrer directement l'ouverture ou la continuité de l'inverse.

L'adjectif « surjective » concerne le codomaine déclaré. Une application peut atteindre toute son image sans atteindre tout le codomaine ; si ce dernier est trop grand, l'hypothèse échoue. Il faut donc identifier explicitement l'espace d'arrivée avant d'invoquer le résultat.

L'espace de Banach permet d'approfondir le rôle de la complétude, hypothèse centrale du théorème de l'application ouverte.

La fiche Application ouverte (théorème de l') recentre la lecture sur la propriété topologique qui donne son nom canonique au résultat.

L'application linéaire fournit le vocabulaire nécessaire pour reconnaître les transformations auxquelles l'énoncé peut s'appliquer.