Image ouverte (théorème de)

Imaginez une feuille souple projetée sur une ligne : chaque petite zone de la feuille doit couvrir un petit intervalle, et non s'écraser en un point. Le théorème de l'image ouverte garantit ce comportement pour une transformation linéaire continue qui atteint tout son espace d'arrivée, à condition que les deux espaces soient complets.

Ainsi, autour de chaque valeur obtenue, il reste une marge de variation. Dans le cas d'une transformation bijective, cette marge empêche l'opération inverse d'amplifier sans limite de petites perturbations.

Une application est dite ouverte lorsque l'image de chaque ensemble ouvert de son espace de départ est un ensemble ouvert de son espace d'arrivée. Le théorème de l'image ouverte porte sur une application linéaire, notée $T:X\to YT:X\backslash to\; Y$, où X et Y sont des espaces de Banach, donc des espaces vectoriels normés complets.

Si T est continue et surjective, alors T est ouverte. Une formulation quantitative équivalente affirme qu'il existe un nombre réel c strictement positif tel que l'image par T de la boule unité ouverte de X contienne la boule ouverte de Y centrée en zéro et de rayon c. Cette inclusion exprime qu'une petite variation dans l'espace d'arrivée possède un antécédent dont la taille reste contrôlée.

Lorsque T est en plus injective, elle est bijective. Le contrôle uniforme de la taille des antécédents empêche alors l'inverse d'amplifier arbitrairement de petites variations : c'est pourquoi son application inverse, notée $T^{-1}:Y\to XT^\{-1\}:Y\backslash to\; X$, est continue. Ce corollaire est souvent appelé théorème de l'inverse borné. Le théorème de l'image ouverte est également équivalent, dans ce cadre, au théorème du graphe fermé.

Soient X et Y deux espaces de Banach. Si une application T de X dans Y est linéaire, continue et surjective, alors, pour tout ouvert U de X, son image T(U) est ouverte dans Y.

En particulier, si T est linéaire, continue et bijective, son inverse est linéaire et continue. La conclusion porte sur l'ouverture des images ; elle ne dit pas que l'image réciproque d'un ouvert est ouverte, propriété qui exprime déjà la continuité de T.

Le domaine et l'espace d'arrivée doivent être des espaces vectoriels normés complets. L'application doit être linéaire, continue sur tout le domaine et surjective : chaque élément de l'espace d'arrivée doit avoir au moins un antécédent. L'injectivité n'est pas nécessaire pour conclure que l'application est ouverte ; elle ne sert que pour parler d'un inverse défini partout.

La surjectivité ne peut pas être omise. L'inclusion de la droite réelle dans le plan, qui envoie x sur le point de coordonnées (x, 0), est linéaire et continue, mais l'image de l'intervalle ouvert ]−1, 1[ est un segment horizontal. Ce segment n'est pas ouvert dans le plan. Dans un tel cas, il faut restreindre l'espace d'arrivée à l'image et vérifier séparément que cette image possède le bon cadre complet.

Considérons le plan réel muni de la norme qui associe au point de coordonnées (x, y) le plus grand des deux nombres |x| et |y|. Considérons aussi la projection T qui envoie (x, y) sur x. Les données sont la boule unité ouverte U = ]−1, 1[ × ]−1, 1[, l'application T et la droite réelle comme espace d'arrivée.

1. La projection T est linéaire.
2. Pour tout point (x, y), on a |T(x, y)| = |x|, qui ne dépasse pas le maximum de |x| et |y| ; T est donc continue.
3. Chaque réel a est l'image du point (a, 0) ; T est surjective.
4. Si (x, y) appartient à U, alors −1 < x < 1. Réciproquement, chaque x de ]−1, 1[ est l'image du point (x, 0) de U.

On obtient exactement T(U) = ]−1, 1[, qui est ouvert dans la droite réelle. Le dessin matérialise ce passage d'un carré ouvert à un intervalle ouvert. Le contrôle se refait sur n'importe quel réel x de cet intervalle : le point (x, 0) fournit immédiatement un antécédent situé dans U.

Pour résoudre une équation linéaire T(x) = y dans un espace de fonctions, la surjectivité assure l'existence d'une solution pour chaque donnée y. Le théorème ajoute un contrôle uniforme des antécédents. Si une estimation directe de la taille des solutions est disponible, elle peut fournir ce contrôle sans invoquer le théorème.

Pour une application linéaire continue et bijective entre espaces de Banach, il suffit d'établir la bijectivité : la continuité de l'inverse suit automatiquement. Si le graphe de l'inverse est plus simple à étudier que ses normes, le théorème du graphe fermé offre une autre voie.

Pour l'application quotient d'un espace de Banach par un sous-espace fermé, le théorème garantit que la projection canonique est ouverte. Si le sous-espace n'est pas fermé, le quotient n'est pas un espace de Banach séparé ; il faut alors changer de cadre ou passer par l'adhérence du sous-espace.

Application ouverte et application continue. Une application ouverte envoie les ouverts vers des ouverts ; une application continue transforme les ouverts de l'espace d'arrivée en ouverts par image réciproque. La projection (x, y) ↦ x possède les deux propriétés, mais elles se vérifient dans des sens opposés.

Théorème de l'image ouverte en analyse complexe. Pour une fonction holomorphe non constante, l'ouverture vient de l'holomorphie et ne demande ni linéarité ni surjectivité. Par exemple, la fonction complexe z ↦ z² est ouverte, alors qu'elle n'est pas linéaire sur les nombres complexes.

Théorème de l'inverse borné. Il concerne le cas bijectif et conclut à la continuité de l'inverse. Le théorème de l'image ouverte s'applique déjà à une application surjective non injective, comme la projection du plan sur une droite.

Une image qui n'est pas tout l'espace. Si l'application n'est pas surjective, son image peut être un sous-espace sans aucun ouvert de l'espace d'arrivée. Le segment horizontal obtenu par l'inclusion de ]−1, 1[ dans le plan en donne le symptôme. Il faut considérer l'image comme espace d'arrivée et contrôler sa complétude.

Un espace non complet. Sur l'espace des fonctions continues sur [0, 1], l'identité allant de la norme uniforme vers la norme intégrale est linéaire, continue et bijective, mais son inverse n'est pas continu. L'espace d'arrivée, muni de la norme intégrale, n'est pas complet. Il faut compléter l'espace ou démontrer directement l'ouverture.

Une application non linéaire. La continuité et la surjectivité ne suffisent pas. La fonction réelle égale à 0 sur [−1, 1], à x − 1 pour x supérieur à 1 et à x + 1 pour x inférieur à −1 est continue et surjective, mais elle envoie l'ouvert ]−1, 1[ sur le singleton {0}. Il faut employer un théorème adapté à la structure non linéaire.

L'espace de Banach précise le rôle de la complétude, hypothèse qui transforme une information de surjectivité en contrôle local des antécédents.

Le théorème du graphe fermé présente une formulation équivalente et permet d'établir la continuité d'un opérateur à partir de son graphe.