AnalyseNotion · Glossaire
Submersion
Une submersion est une application différentiable entre deux variétés dont la différentielle est surjective en tout point. Pour une application f de M dans N avec dim(M) >= dim(N), f est une submersion si son rang est égal à dim(N) en tout point. Le théorème de la submersion (ou des fonctions implicites) affirme que les fibres d'une submersion (les images réciproques de points) sont des sous-variétés. Les projections de produits cartésiens sur leurs facteurs sont des exemples élémentaires de submersions.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter une submersion comme une projection locale qui conserve toutes les directions de l’arrivée.
- Vérifier la surjectivité de la différentielle par le rang de la matrice jacobienne.
- Calculer la fibre de la projection de ℝ³ vers ℝ² et contrôler sa dimension.
- Distinguer une submersion d’une immersion et d’une application globalement surjective.
En clair
Imaginez un point de l’espace repéré par trois coordonnées, puis oubliez sa hauteur. La projection envoie tous les points placés sur une même verticale vers le même point du plan. Malgré cette perte d’information, chaque petite direction du plan reste atteignable depuis l’espace.
Une submersion généralise cette situation aux espaces courbes appelés variétés. Au voisinage de chaque point, elle se comporte comme une projection qui conserve toutes les directions de l’espace d’arrivée.
Définition
Soient M et N deux variétés différentielles, et soit f une application différentiable de M vers N. Pour un point p de M, la différentielle de f en p est l’application linéaire qui envoie les directions tangentes à M en p vers les directions tangentes à N au point f(p). L’application f est une submersion lorsque cette différentielle est surjective pour tout point p.
Si M a pour dimension m et N pour dimension n, cette condition impose m ≥ n. Elle équivaut à demander que le rang de la différentielle soit n en chaque point : aucune direction infinitésimale de N ne manque. Dans des coordonnées locales adaptées autour de p et de f(p), une submersion prend la forme d’une projection sur les n premières coordonnées.
Pour un point q de N, la fibre au-dessus de q est l’ensemble des points de M envoyés sur q. Le théorème de la submersion garantit que toute fibre non vide est une sous-variété de M ; sa dimension est m − n. Cette conclusion repose sur la surjectivité de la différentielle en chacun des points de la fibre.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’application f de ℝ3 vers ℝ2 qui conserve les deux premières coordonnées. Les données sont :
• un point de départ (x, y, z) ;
• l’image f(x, y, z) = (x, y) ;
• le point q = (1, 2) du plan d’arrivée.
• un point de départ (x, y, z) ;
• l’image f(x, y, z) = (x, y) ;
• le point q = (1, 2) du plan d’arrivée.
1. La différentielle est représentée, en tout point, par la matrice suivante :
2. Les deux lignes sont indépendantes. La matrice a donc le rang 2, qui est la dimension de ℝ2. La différentielle est surjective partout : f est une submersion.
3. Cherchons la fibre au-dessus de q. Les égalités x = 1 et y = 2 sont imposées, tandis que z reste libre. La fibre est donc la droite formée des points (1, 2, z), où z parcourt ℝ.
4. Le contrôle des dimensions donne 3 − 2 = 1, exactement la dimension de cette droite. Chaque point de la fibre est bien envoyé sur (1, 2), ce qui fournit un second contrôle direct.
En pratique
Pour une projection de coordonnées, on repère d’abord les coordonnées conservées. Si elles couvrent indépendamment toutes les directions de l’espace d’arrivée, la projection est une submersion.
Pour une application donnée par des formules, on calcule sa matrice jacobienne puis on vérifie son rang en chaque point. Un mineur maximal qui reste non nul établit la surjectivité locale ; si tous les mineurs maximaux s’annulent quelque part, il faut étudier ce point séparément.
Pour décrire un ensemble défini par des équations, on le regarde comme une fibre. Lorsque la différentielle est surjective sur cette fibre, le théorème de la submersion donne une sous-variété ; sinon, ce critère ne permet pas de conclure et une analyse locale directe est nécessaire.
À ne pas confondre
Immersion. Une immersion possède une différentielle injective, tandis qu’une submersion exige une différentielle surjective. L’inclusion d’une courbe dans le plan peut être une immersion, mais elle ne peut pas être une submersion vers le plan, car une seule direction ne couvre pas deux directions.
Application surjective. La surjectivité globale demande que chaque point de l’espace d’arrivée ait un antécédent. La submersion porte sur la différentielle en chaque point du domaine. Ainsi, l’exponentielle de ℝ vers ℝ a une dérivée toujours non nulle : c’est une submersion, bien que son image ne contienne aucun nombre négatif ni zéro.
Limites et pièges
Un seul point critique suffit. Pour l’application qui envoie (x, y) sur x2 + y2, la différentielle est nulle à l’origine. Même si son rang vaut 1 ailleurs, l’application n’est pas une submersion sur tout ℝ2. Il faut restreindre le domaine en retirant l’origine, ou étudier séparément la fibre critique.
La dimension du domaine ne peut pas être plus petite. Une application d’une courbe vers une surface a une différentielle de rang au plus 1. Elle ne peut donc pas être une submersion vers une variété de dimension 2 ; le critère adapté peut être celui d’une immersion.
Vérifier la fibre seule ne suffit pas. Une fibre particulière peut être une sous-variété alors que la différentielle perd son rang. La fibre au-dessus de 0 de (x, y) ↦ x2 + y2 est réduite à l’origine, mais l’application n’est pas une submersion à ce point. Il faut tester la surjectivité de la différentielle, pas seulement l’aspect de l’ensemble obtenu.
Pour aller plus loin
Différentielle. Approfondissez l’application linéaire dont la surjectivité caractérise une submersion.
Immersion. Comparez le critère injectif dual et le rôle respectif des dimensions du domaine et de l’arrivée.
Implicites (théorème des fonctions). Reliez la condition de rang à la description locale des ensembles définis par des équations.
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