image d'une application linéaire

Imaginez une machine qui reçoit trois nombres et en renvoie deux. Avec la règle qui transforme (x, y, z) en (x + y, y + z), on peut obtenir la sortie (3, 5) en entrant, par exemple, (3, 0, 5).

L’image de cette machine rassemble toutes les sorties qu’une entrée peut produire. Ici, chaque paire est accessible : l’image est donc tout ℝ². Une même sortie peut avoir plusieurs entrées ; l’image indique ce qui est atteignable, pas comment l’entrée est retrouvée.

Soient E l’espace vectoriel de départ, F l’espace vectoriel d’arrivée et f une application linéaire de E vers F. L’image de f est l’ensemble des vecteurs de F atteints par au moins un vecteur de E : $\mathrm{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in E\}\backslash operatorname\{Im\}(f)=\backslash \{f(x)\backslash mid\; x\backslash in\; E\backslash \}$. Dire qu’un vecteur y de F appartient à l’image revient donc à pouvoir résoudre l’équation f(x) = y avec une inconnue x dans E.

La linéarité assure que l’image contient le vecteur nul et reste stable par addition et multiplication par un scalaire. Im(f) est ainsi un sous-espace vectoriel de F. Sa dimension est le rang de f. Lorsque E est de dimension finie, le noyau Ker(f), formé des vecteurs envoyés sur zéro, intervient dans le théorème du rang :

En coordonnées, l’image est l’espace engendré par les colonnes d’une matrice représentant f. Cette description dépend des bases choisies pour écrire la matrice, mais le sous-espace image et son rang n’en dépendent pas.

Quatre éléments organisent la notion. L’espace de départ E fournit les antécédents ; l’espace d’arrivée F contient les sorties possibles ; l’application linéaire f associe une sortie à chaque entrée ; enfin, Im(f) ne conserve dans F que les sorties effectivement atteintes. Le noyau complète cette structure en regroupant les entrées envoyées sur le vecteur nul.

Dans l’exemple conducteur, les images des trois vecteurs de la base canonique sont f(e₁) = (1, 0), f(e₂) = (1, 1) et f(e₃) = (0, 1). Les première et troisième directions engendrent déjà tout ℝ² ; la deuxième est leur somme. Ces données suffisent à construire l’image et à lire le rang 2. Le choix des bases change les coordonnées et le dessin, mais pas la dimension de l’image.

On considère l’application linéaire f de ℝ³ vers ℝ² définie par f(x, y, z) = (x + y, y + z). Les données sont l’entrée (x, y, z), une sortie quelconque notée (a, b), et la matrice de f notée A.

1. Pour atteindre (a, b), on résout x + y = a et y + z = b.
2. En choisissant y = 0, on obtient x = a et z = b. Ainsi, toute sortie (a, b) possède l’antécédent (a, 0, b).
3. L’image est donc ℝ², et le rang de f vaut 2.
4. Pour calculer le noyau, on impose a = b = 0. Les solutions sont (x, y, z) = t(−1, 1, −1), où t est un scalaire.
5. Le noyau a la dimension 1. Le contrôle donne bien 3 = 1 + 2, conformément au théorème du rang.

Un second contrôle consiste à observer les colonnes (1, 0) et (0, 1) de la matrice : elles sont indépendantes et engendrent ℝ². On retrouve donc directement une image de dimension 2.

Pour savoir si une équation linéaire f(x) = y admet une solution, on vérifie si le vecteur cible y appartient à Im(f). Si l’on cherche en plus toutes les solutions, l’image ne suffit pas : il faut trouver un antécédent particulier puis ajouter les vecteurs du noyau.

Avec une matrice, on échelonne ses colonnes pour repérer une famille génératrice indépendante de l’image. Compter seulement les colonnes convient uniquement lorsqu’elles sont indépendantes ; sinon, leur nombre surestime le rang.

Pour décider si f est surjective, on compare Im(f) à tout l’espace d’arrivée F. Si le rang égale la dimension de F en dimension finie, f est surjective ; pour tester l’injectivité, on examine plutôt si le noyau se réduit au vecteur nul.

Image et noyau. L’image vit dans l’espace d’arrivée F et rassemble les vecteurs atteints ; le noyau vit dans l’espace de départ E et rassemble les vecteurs envoyés sur zéro. Dans l’exemple, Im(f) = ℝ², tandis que Ker(f) est la droite engendrée par (−1, 1, −1).

Image de f et image d’un vecteur. f(x) est un seul vecteur de F obtenu à partir d’une entrée x. Im(f) est l’ensemble de tous ces vecteurs. Par exemple, f(3, 0, 5) = (3, 5) est un élément de l’image, mais ce vecteur n’est pas l’image entière.

Image et espace d’arrivée. Im(f) est toujours incluse dans F, mais elle ne lui est égale que lorsque f est surjective. L’application de ℝ² vers ℝ² donnée par (x, y) ↦ (x, 0) a pour image l’axe horizontal, pas tout ℝ².

Application nulle. Si f envoie toute entrée sur zéro, l’image est le sous-espace {0} et le rang vaut 0. Une image n’est donc jamais vide, même lorsqu’aucune direction non nulle n’est atteinte.

Colonnes redondantes. L’image d’une matrice est engendrée par toutes ses colonnes, mais sa dimension n’est pas forcément leur nombre. Le symptôme est une relation linéaire entre colonnes ; il faut alors garder une sous-famille indépendante ou échelonner la matrice.

Dimension infinie. La formule numérique usuelle du théorème du rang suppose que l’espace de départ E est de dimension finie. Dans un cadre infini, il faut préciser le sens des dimensions et employer une formulation adaptée, plutôt que soustraire naïvement des dimensions infinies.

Équations sans solution unique. Appartenir à Im(f) garantit l’existence d’un antécédent, pas son unicité. Dès que le noyau contient un vecteur non nul, deux entrées distinctes peuvent avoir la même image ; il faut ajouter une condition ou décrire toute la famille des solutions.

L’image prend tout son sens avec la structure qui la produit. La fiche application linéaire précise la propriété de linéarité qui rend Im(f) stable par combinaisons linéaires.

Pour revoir pourquoi l’image, le noyau et les familles engendrées possèdent la même structure algébrique, la fiche espace vectoriel détaille les opérations et les axiomes concernés.