application linéaire

Sur une feuille quadrillée, imaginez une machine qui transforme chaque flèche en une autre. Si deux flèches sont mises bout à bout, la machine transforme leur somme comme si elle avait transformé chaque flèche séparément, puis additionné les résultats.

Agrandir une flèche avant la transformation revient aussi à agrandir son image du même facteur. Une telle machine modifie les directions et les longueurs, mais respecte l'addition et la multiplication par un nombre : elle représente une application linéaire.

Une application linéaire est une fonction entre deux espaces vectoriels construits sur le même corps de scalaires. Notons E l'espace de départ, F l'espace d'arrivée, K leur corps de scalaires et f la fonction de E vers F.

La fonction est linéaire lorsqu'elle conserve à la fois l'addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire. Pour tous vecteurs u et v de E et tous scalaires α et β de K, ces deux exigences se rassemblent dans l'identité suivante : $f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)f(\backslash alpha\; u+\backslash beta\; v)=\backslash alpha\; f(u)+\backslash beta\; f(v)$. L'additivité s'obtient en prenant α = β = 1 ; l'homogénéité s'obtient en prenant l'un des deux scalaires nul.

Ces conditions imposent notamment f(0) = 0 et permettent de transformer toute combinaison linéaire terme à terme. Dans des bases choisies, une application linéaire en dimension finie se décrit par une matrice ; changer de bases change cette matrice, pas l'application elle-même.

Cinq éléments forment le cadre. Le corps K fournit les scalaires. Les espaces vectoriels E et F fournissent les vecteurs de départ et d'arrivée. L'application f associe à chaque vecteur de E un unique vecteur de F. Enfin, l'addition et la multiplication par un scalaire sont les deux opérations que f doit respecter.

E et F doivent utiliser le même corps pour que le même scalaire agisse avant et après f. Les deux lois des espaces donnent un sens aux deux tests de linéarité. Ces données suffisent à calculer l'image de toute combinaison linéaire dès que les images de ses vecteurs sont connues. Une représentation graphique ou une matrice peut aider à calculer, mais elle ne fait pas partie de la définition.

Considérons l'application f qui envoie le couple (x, y) sur (2x − y, x + 3y). Prenons les vecteurs u = (1, 2) et v = (3, −1), ainsi que les scalaires α = 2 et β = −1. Vérifions sur ces données que combiner les vecteurs avant ou après f donne le même résultat.

1. La combinaison dans l'espace de départ vaut : $2u-v=2(1,2)-(3,-1)=(-1,5)2u-v=2(1,2)-(3,-1)=(-1,5)$.

2. Son image est : $f(-1,5)=(2(-1)-5,-1+3\times 5)=(-7,14)f(-1,5)=(2(-1)-5,-1+3\backslash times5)=(-7,14)$.

3. Séparément, on obtient f(u) = f(1, 2) = (0, 7) et f(v) = f(3, −1) = (7, 0).

4. La combinaison des images vaut : $2f(u)-f(v)=2(0,7)-(7,0)=(-7,14)2f(u)-f(v)=2(0,7)-(7,0)=(-7,14)$. Les deux chemins aboutissent exactement à (−7, 14). Ce contrôle illustre l'identité de linéarité ; la formule générale de f permet de refaire le même calcul avec des vecteurs et des scalaires quelconques.

Pour tester une formule entre espaces vectoriels, on part de vecteurs quelconques u et v et de scalaires quelconques α et β. Si l'image de αu + βv se développe toujours en αf(u) + βf(v), la formule définit une application linéaire. Tester seulement quelques valeurs donne un contrôle, pas une preuve.

En coordonnées et en dimension finie, une matrice rassemble dans ses colonnes les images des vecteurs d'une base. Dans l'exemple f(x, y) = (2x − y, x + 3y), la matrice dans la base usuelle est : sa première colonne est f(1, 0) et sa seconde f(0, 1). En multipliant cette matrice par le vecteur de coordonnées (x, y), on lit ligne par ligne les coordonnées 2x − y et x + 3y de l'image. Après simplification, une formule dont le terme constant net est non nul appelle plutôt le cadre des applications affines.

Pour analyser ce que la transformation efface ou peut produire, on cherche son noyau et son image. Le noyau regroupe les vecteurs envoyés sur le vecteur nul ; l'image regroupe les vecteurs effectivement atteints. Ces deux ensembles sont eux-mêmes des sous-espaces vectoriels.

Application affine. Une application affine peut comporter une translation : en coordonnées, elle a la forme x ↦ Ax + b. Elle est linéaire exactement lorsque le terme constant b est nul. Le test décisif est l'image de l'origine : une translation non nulle n'envoie pas 0 sur 0.

Fonction quelconque donnée par une formule. Une expression algébrique n'est pas automatiquement linéaire. Sur les nombres réels, la fonction x ↦ x² envoie bien 0 sur 0, mais elle ne respecte pas l'addition : (1 + 1)² = 4, tandis que 1² + 1² = 2.

Le passage par l'origine ne suffit pas. La condition f(0) = 0 est nécessaire, mais la fonction réelle x ↦ x² montre qu'elle n'est pas suffisante. Il faut revenir à l'additivité et à l'homogénéité pour des valeurs quelconques.

Quelques essais ne prouvent pas la linéarité. L'exemple guidé vérifie une combinaison précise, mais une fonction peut réussir plusieurs essais et échouer ailleurs. Une preuve doit utiliser des vecteurs et des scalaires génériques, ou un argument équivalent couvrant tout l'espace.

Le corps de scalaires compte. Sur les nombres complexes, la conjugaison respecte l'addition et la multiplication par un scalaire réel, mais pas par tout scalaire complexe. Elle est donc linéaire si les espaces sont vus sur les réels, et non linéaire s'ils sont vus sur les complexes.

L'application nulle est bien linéaire. Envoyer chaque vecteur sur 0 satisfait exactement les deux conditions, même si toute l'information est effacée. Il ne faut pas ajouter à la définition une condition d'inversibilité ou de conservation des longueurs.

espace vectoriel — Revoir les vecteurs, les scalaires et les deux opérations que toute application linéaire doit respecter.

application affine — Distinguer la partie linéaire du terme de translation et comprendre pourquoi l'origine devient un test décisif.

Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire — Approfondir le rôle du noyau et la structure générale des applications linéaires.