AnalyseObjet mathématique · Glossaire
application affine
Soient (E) un espace affine associé à un espace vectoriel E et (F) un espace affine associé à un espace vectoriel F. Une application g de (E) dans (F) est dite affine s’il existe une application linéaire G de E dans F telle que, pour tout couple (A, B) d'éléments de (E), en posant A' = g(A) et B' = g(B), on ait G(vect(AB)) = vect(A'B'). Autrement dit, une application affine envoie tout barycentre sur son image par la même combinaison barycentrique. Remarque : la fonction affine usuelle de ℝ dans ℝ, de la forme x ↦ ax + b, constitue un cas particulier d'application affine.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une application affine à sa partie linéaire et à son terme constant.
- Vérifier sur un calcul que l’image d’un milieu est le milieu des images.
- Distinguer une application affine d’une application linéaire ou affine par morceaux.
- Repérer les cas constants, non inversibles et les coefficients qui ne forment pas un barycentre.
En clair
Imaginez un dessin sur une feuille que l’on déplace, étire ou incline sans courber ses lignes. Les points changent de place, mais les milieux restent des milieux et les alignements sont conservés. Une application affine décrit ce type de transformation.
Elle combine une transformation linéaire, qui agit sur les directions et les écarts, avec un déplacement global. Sur la droite réelle, on retrouve la fonction familière x ↦ ax + b.
Définition
Soient un espace affine ℰ de direction E et un espace affine ℱ de direction F. Une application g de ℰ vers ℱ est affine lorsqu’il existe une application linéaire L de E vers F telle que, pour tous points A et B de ℰ, le vecteur qui joint leurs images est l’image du vecteur qui les joint : . L’application L est appelée partie linéaire de g.
Après le choix d’une origine dans chaque espace, g s’écrit comme la somme de cette partie linéaire et d’un vecteur constant b : . Le vecteur b dépend des origines choisies, tandis que L décrit toujours l’action sur les différences entre points.
De façon équivalente, g conserve les combinaisons barycentriques. Si des réels λ1, …, λn ont pour somme 1, alors . En particulier, l’image d’un milieu est le milieu des images. Sur ℝ, le choix L(x) = ax donne le cas particulier g(x) = ax + b.
De quoi c'est fait
Une application affine repose sur quatre éléments. L’espace affine de départ contient les points à transformer, et son espace vectoriel associé décrit leurs écarts. L’espace affine d’arrivée reçoit les images, avec son propre espace vectoriel pour mesurer les nouveaux écarts. Enfin, la partie linéaire L transforme chaque vecteur de départ en vecteur d’arrivée.
La valeur de g en un point fixe détermine ensuite toutes les autres valeurs : si A est ce point de référence, alors fixe g(B). Dans des coordonnées choisies, cette valeur fournit le terme constant b. Ainsi, L et l’image d’un seul point suffisent pour construire l’application entière. Le tracé, la couleur ou l’échelle d’une figure ne font pas partie de cette définition.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan, considérons l’application g définie par . Les données sont les points A = (0, 0), B = (2, 1) et leur milieu M = (1, 1/2). La partie linéaire candidate est , et le vecteur constant vaut b = (1, −2).
1. On calcule l’image de A : g(A) = (1, −2).
2. On calcule l’image de B : g(B) = (4, 1).
3. On transforme le milieu : g(M) = (5/2, −1/2).
4. Le milieu de g(A) et g(B) vaut aussi ((1 + 4)/2, (−2 + 1)/2) = (5/2, −1/2). Le contrôle concorde : g conserve ici la combinaison barycentrique de coefficients 1/2 et 1/2.
La représentation des deux segments rend visible ce contrôle : le point M partage [AB] en deux parts égales, et son image g(M) partage pareillement [g(A)g(B)]. Ce test illustre la propriété affine, tandis que l’écriture g = L + b la garantit pour tous les points.
En pratique
En géométrie, une application affine sert à déplacer ou déformer une figure tout en suivant ses points par des coordonnées. On la préfère à une transformation quelconque lorsque les alignements et les barycentres doivent rester cohérents.
Pour calculer l’image d’un objet, on applique la même partie linéaire à tous ses vecteurs, puis le même déplacement à tous ses points. Si le déplacement est nul dans les origines choisies, une application linéaire suffit.
Pour contrôler un calcul, on choisit deux points et leur milieu. Si l’image annoncée du milieu n’est pas le milieu des deux images, l’application donnée n’est pas affine ou le calcul contient une erreur.
À ne pas confondre
Application linéaire. Une application linéaire fixe nécessairement l’origine vectorielle. Une application affine peut la déplacer. Ainsi, sur ℝ, x ↦ 2x est linéaire et affine, tandis que x ↦ 2x + 1 est affine mais non linéaire.
Fonction affine par morceaux. Une règle peut être affine séparément sur plusieurs régions sans être une seule application affine sur tout son domaine. Le critère décisif est l’existence d’une même partie linéaire et d’un même terme constant partout. Par exemple, x ↦ |x| change de pente en 0.
Limites et pièges
Partie linéaire non inversible. Une application affine n’est pas forcément bijective. Si sa partie linéaire écrase une direction, deux points distincts peuvent avoir la même image. Il faut alors étudier le noyau de la partie linéaire au lieu de chercher automatiquement une réciproque.
Application constante. Lorsque la partie linéaire est nulle, tous les points ont la même image. Ce cas dégénéré reste affine et conserve les barycentres, même s’il écrase entièrement les distances et les directions.
Somme des coefficients. La conservation porte sur les combinaisons barycentriques, dont les coefficients ont une somme égale à 1. Si cette somme est différente de 1, il ne s’agit plus d’une combinaison affine de points indépendante du choix d’une origine. Après avoir choisi une origine, il faut alors utiliser l’écriture complète g(x) = L(x) + b, avec son terme de translation.
Pour aller plus loin
Espace affine — Situer les points et les vecteurs sans imposer une origine privilégiée.
Application linéaire — Approfondir la partie qui transforme les vecteurs et détermine les variations entre images.
Barycentre — Retrouver la construction préservée par toute application affine.
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