GéométrieNotion · Glossaire
barycentre
On appelle barycentre d'un système de n points pondérés A1, A2, ..., An affectés respectivement des coefficients a1, a2, ..., an (avec ) le point unique G défini par la relation vectorielle . Ce point G est l'unique point satisfaisant cette relation, et sa position dépend à la fois de la position des points et de la valeur des coefficients de pondération qui leur sont associés. Le barycentre généralise la notion de centre de gravité et joue un rôle fondamental en géométrie affine.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir le barycentre par une relation vectorielle et préciser sa condition d'existence.
- Calculer le barycentre de deux points pondérés et contrôler le résultat géométriquement.
- Interpréter les coefficients positifs, négatifs ou non normalisés.
- Distinguer barycentre, centre de gravité et moyenne pondérée.
En clair
Imaginez deux points A et B posés sur une règle. À chacun est attaché un coefficient, comme une importance : 1 pour A et 2 pour B. Le point d'équilibre se place alors plus près de B, qui compte deux fois plus. Ce point est le barycentre.
Avec A à la position 0 et B à la position 6, il se trouve en 4. Les coefficients ne sont pas forcément des masses : ils peuvent aussi être négatifs, et le barycentre peut alors sortir du segment.
Définition
Un système de points pondérés associe à chaque point Ai un coefficient ai. Si la somme de tous les coefficients est non nulle, son barycentre est l'unique point G qui vérifie la relation vectorielle suivante : . Cette égalité exprime la compensation des déplacements depuis G, chacun étant multiplié par son coefficient.
Après le choix d'une origine O, la position de G se calcule par . Pour deux points A et B de coefficients respectifs a et b, cette formule devient , avec a + b ≠ 0. Multiplier tous les coefficients par un même nombre non nul ne change pas G.
Lorsque tous les coefficients sont positifs, G reste dans l'enveloppe convexe des points, donc sur le segment dans le cas de deux points. Des coefficients de signes opposés peuvent placer G à l'extérieur. Le barycentre généralise ainsi le centre de gravité tout en appartenant au cadre de la géométrie affine.
Un exemple, pas à pas
Sur un axe, le point A a pour coordonnée 0 et le point B pour coordonnée 6. Le coefficient de A vaut 1 et celui de B vaut 2. On cherche la coordonnée xG de leur barycentre G. La somme des coefficients vaut 3 : le calcul est donc possible.
1. Multipliez chaque coordonnée par son coefficient : 1 × 0 = 0 et 2 × 6 = 12.
2. Additionnez les produits : 0 + 12 = 12.
3. Divisez par la somme des coefficients : .
4. Placez G à la coordonnée 4 sur le segment [AB].
2. Additionnez les produits : 0 + 12 = 12.
3. Divisez par la somme des coefficients : .
4. Placez G à la coordonnée 4 sur le segment [AB].
Le résultat est G(4), sans unité puisque l'axe n'en porte pas. Pour contrôler le calcul, les distances sont AG = 4 et GB = 2 : G est deux fois plus proche de B que de A, conformément au coefficient de B, deux fois plus grand. La figure matérialise cette compensation sur l'axe.
En pratique
Pour partager une position entre plusieurs repères, on associe un coefficient à chacun, puis on calcule le barycentre. Une moyenne ordinaire convient seulement si tous les repères doivent compter autant.
En géométrie, le barycentre sert à construire un point à partir d'autres points sans dépendre de l'origine choisie. Si les coefficients sont tous positifs, le point cherché demeure dans leur enveloppe convexe ; sinon, il faut aussi examiner l'extérieur.
Pour modéliser un équilibre de masses ponctuelles, les masses jouent le rôle de coefficients positifs. On parle alors naturellement de centre de gravité ; le terme barycentre est préférable lorsque les coefficients sont abstraits ou peuvent être négatifs.
À ne pas confondre
Centre de gravité. Il traduit un équilibre physique lié à une répartition de masse et à un champ de pesanteur. Le barycentre est une construction affine de points munis de coefficients. Avec des masses ponctuelles positives dans un champ uniforme, les deux positions coïncident ; des coefficients négatifs n'ont pas cette interprétation physique directe.
Moyenne pondérée. Une moyenne pondérée combine des nombres, tandis qu'un barycentre combine des points. Sur un axe muni de coordonnées, le nombre obtenu par moyenne pondérée donne la coordonnée du barycentre ; sans système de coordonnées, le barycentre reste pourtant défini.
Limites et pièges
Somme nulle. Si la somme des coefficients vaut exactement 0, la division par cette somme est impossible et le barycentre du système n'existe pas. Il faut modifier les coefficients ou étudier directement la relation vectorielle, sans nommer un point G barycentre.
Coefficient négatif. Le dessin d'un point entre A et B devient trompeur. Avec A(0) et B(6), affectés des coefficients 1 et −2, la somme vaut −1 et le calcul donne G(12), hors du segment [AB]. Il faut chercher sur toute la droite.
Coefficients non normalisés. Leur somme n'a pas besoin de valoir 1. Dans l'exemple conducteur, les coefficients 1 et 2 peuvent être remplacés par 2 et 4 : le barycentre reste G(4). Il faut diviser par la somme effective, et non traiter les coefficients comme des coordonnées.
Pour aller plus loin
Centre de gravité — Pour relier le calcul affine à l’équilibre d’une répartition de masse.
Une notion affine inspirée par la physique — Pour approfondir l'origine physique et la portée affine de la notion.
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