fonction scalaire de Leibniz

Placez plusieurs points sur une feuille et attribuez à chacun un coefficient. Pour tout point mobile M, on mesure la distance de M à chaque point fixe, on élève ces distances au carré, puis on additionne les résultats pondérés par les coefficients.

Cette somme est la fonction scalaire de Leibniz. Lorsque le total des coefficients n'est pas nul, tout le calcul se réorganise autour d'un point unique, le barycentre. La variation de la fonction dépend alors seulement du carré de la distance entre M et ce barycentre.

Dans un espace affine euclidien réel E, on considère des points A₁, …, A_n et des coefficients scalaires réels a₁, …, a_n. La fonction scalaire de Leibniz associe à chaque point M la somme des carrés des distances MA_i, chacun multiplié par son coefficient : $f(M)={\sum }_{i=1}^n{a}_i\parallel M{A}_i{\parallel }^{2}f(M)=\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}a\_i\backslash ,\backslash lVert\; MA\_i\backslash rVert^2$. Elle est quadratique par rapport aux coordonnées de M. Les coefficients peuvent être négatifs ; il ne s'agit donc pas toujours d'une somme de quantités positives.

Notons s la somme des coefficients. Si s n'est pas nul, le système possède un unique barycentre G et la formule de Leibniz donne : La valeur au barycentre contient la part fixe ; le second terme décrit toute la variation avec M. Cette identité est une forme géométrique de la décomposition de la variance.

Si s est nul, aucun barycentre du système pondéré n'est défini. Pour un point O choisi comme origine, la fonction devient affine en M : $f(M)=f(O)+2\overrightarrow{OM}\cdot \vec{u}f(M)=f(O)+2\backslash ,\backslash overrightarrow\{OM\}\backslash mathbin\{\backslash cdot\}\backslash vec\{u\}$, où le vecteur $\vec{u}=-{\sum }_{i=1}^n{a}_i\overrightarrow{O{A}_i}\backslash vec\{u\}=-\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}a\_i\backslash ,\backslash overrightarrow\{OA\_i\}$ est la constante vectorielle de Leibniz, avec la convention de signe de cette formule. Si ce vecteur est lui-même nul, la fonction est constante.

La construction réunit quatre éléments. L'espace affine euclidien fournit les points, les distances et le produit scalaire. Le système fini fournit les points fixes A_i. Les coefficients a_i règlent le poids, éventuellement négatif, de chaque distance au carré. Enfin, le point variable M est l'entrée de la fonction, tandis que f(M) est un scalaire.

Les points fixes n'agissent qu'à travers leurs distances à M, mais les coefficients déterminent aussi la structure globale. Leur somme décide si la fonction se recentre sur un barycentre ou se réduit à une expression affine. Quand cette somme est non nulle, points et coefficients déterminent ensemble G et f(G). Ces données suffisent alors à calculer f en tout point par la seule distance MG. Le dessin, l'échelle choisie et l'orientation du repère ne définissent pas la fonction.

Sur une droite graduée, le point A a pour coordonnée 0 et le point B pour coordonnée 4. Leurs coefficients respectifs sont 1 et 3. Le point mobile M a pour coordonnée x.

1. La somme des coefficients vaut 1 + 3 = 4. Le barycentre G a donc pour coordonnée $(1\times 0+3\times 4)\mathrm{/}4=3(1\backslash times0+3\backslash times4)/4=3$.

2. Au barycentre, les distances GA et GB valent respectivement 3 et 1. On obtient f(G) = 1 × 3² + 3 × 1² = 12.

3. La décomposition donne alors $f(M)=12+4(x-3{)}^{2}f(M)=12+4(x-3)^2$. Elle montre immédiatement que la plus petite valeur est 12, atteinte uniquement en G, puisque le coefficient 4 est positif.

4. Pour contrôler au point de coordonnée 2, le calcul direct donne f(2) = 1 × 2² + 3 × 2² = 16. La formule recentrée donne aussi 12 + 4 × (2 − 3)² = 16. Les deux calculs coïncident exactement.

Pour calculer une somme pondérée de distances au carré en plusieurs points M, la forme recentrée évite de reprendre tous les termes. On calcule une fois G et f(G), puis seulement la distance MG. Le calcul direct reste préférable pour un unique point lorsque le système contient peu de points fixes.

Pour chercher un extremum, le signe de la somme des coefficients donne le bon réflexe. Une somme positive fait de G l'unique minimum ; une somme négative en fait l'unique maximum. Si la somme est nulle, il faut étudier l'expression affine obtenue, car la règle du barycentre ne s'applique plus.

En géométrie, l'identité permet aussi de comparer deux positions sans développer deux longues sommes. La différence entre leurs valeurs se ramène à leurs distances au barycentre, à condition que le système de points et de coefficients reste inchangé.

Le barycentre. Le barycentre G est un point déterminé par des points pondérés lorsque la somme des coefficients n'est pas nulle. La fonction scalaire de Leibniz, elle, attribue une valeur à chaque point M. Dans l'exemple A = 0, B = 4, de coefficients 1 et 3, G vaut 3, tandis que f(2) vaut 16.

La constante vectorielle de Leibniz. Cette constante est un vecteur associé au système lorsque la somme des coefficients est nulle ; la fonction étudiée reste à valeurs scalaires. Le type du résultat tranche donc : un vecteur donne une direction et une norme, un scalaire donne une valeur numérique.

La variance d'une variable aléatoire. Une variance est une moyenne probabiliste d'écarts au carré et emploie des poids positifs dont la somme vaut 1. La fonction de Leibniz accepte plus généralement des coefficients de signes quelconques. Des coefficients 1 et −1 définissent cette fonction, mais pas une variance probabiliste.

Somme des coefficients nulle. Au seuil exact s = 0, la formule centrée sur G cesse d'avoir un sens, car le barycentre pondéré n'existe pas. Il faut employer la forme affine faisant intervenir la constante vectorielle de Leibniz. Si ce vecteur est nul, la fonction est constante ; sinon, elle n'a aucun extremum sur tout l'espace.

Coefficients négatifs. Une somme de distances au carré n'est pas nécessairement positive lorsque certains coefficients sont négatifs. Si leur somme s est négative, G est un maximum et la fonction décroît sans borne quand la distance MG augmente. Il faut donc vérifier le signe de s avant de parler de minimum ou de variance.

Barycentre hors de l'enveloppe des points. Avec des coefficients de signes opposés et une somme non nulle, G peut se trouver hors du segment ou du polygone formé par les A_i. Ce n'est pas une erreur de calcul. Il faut utiliser les coefficients algébriques, sans remplacer les poids négatifs par leurs valeurs absolues.

Cadre euclidien indispensable. La décomposition utilise des distances au carré issues d'un produit scalaire. Dans un espace muni seulement d'une distance quelconque, l'identité quadratique n'est pas garantie. Il faut alors revenir à la définition disponible dans ce nouvel espace au lieu d'appliquer automatiquement la formule de Leibniz.

Le barycentre précise la construction et les propriétés du point G qui concentre le système pondéré lorsque la somme des coefficients est non nulle.

L'espace affine éclaire le cadre dans lequel les points se combinent par barycentres sans qu'une origine soit imposée à la géométrie.