espace affine

Imaginez une feuille portant trois points A, B et C, mais aucun point marqué « zéro ». On peut néanmoins décrire le déplacement qui mène de A à B, puis celui qui mène de B à C. Leur enchaînement donne directement le déplacement de A à C.

Un espace affine sépare ainsi les positions, appelées points, des déplacements, qui sont des vecteurs. Chaque point peut être déplacé d'un vecteur donné, avec un unique point d'arrivée. Aucune origine n'est privilégiée.

Un espace affine sur un corps K est formé d'un ensemble non vide E de points, d'un espace vectoriel V sur K et d'une application φ qui associe à deux points A et B le vecteur allant de A vers B. L'espace vectoriel V est la direction de l'espace affine.

La première condition est la relation de Chasles : pour tous points A, B et C, les déplacements successifs s'additionnent.La seconde condition exige que, pour tout point A et tout vecteur v de V, il existe un unique point B tel que $\phi (A,B)=v\backslash varphi(A,B)=v$. Autrement dit, une translation de vecteur donné est toujours possible et possède une seule arrivée.

La dimension de E est, par définition, celle de V. Choisir un point O comme origine permet d'identifier chaque point A au vecteur φ(O, A), mais ce choix ajoute un repère qui n'appartient pas à la structure affine elle-même.

La structure repose sur quatre données liées. Le corps K fournit les scalaires. L'espace vectoriel V contient les déplacements et dépend de K. L'ensemble non vide E contient les points. Enfin, l'application φ transforme chaque couple de points de E en un vecteur de V.

Deux règles solidarisent ces données : la relation de Chasles compose les déplacements, tandis que l'existence et l'unicité de B font agir chaque vecteur sur chaque point. Ensemble, elles suffisent à calculer un déplacement entre points et à construire l'arrivée d'une translation. Une origine, des axes, une distance ou des angles peuvent être ajoutés, mais ils ne définissent pas à eux seuls la structure affine.

Dans le plan affine réel, prenons les points A = (1, 1), B = (4, 2) et C = (3, 5). Les coordonnées servent ici à effectuer les calculs ; le choix de leur origine n'est pas une donnée intrinsèque de l'espace affine.

1. Le déplacement de A vers B s'obtient en soustrayant les coordonnées dans le repère choisi : φ(A, B) = (4 − 1, 2 − 1) = (3, 1).

2. Le déplacement de B vers C vaut φ(B, C) = (3 − 4, 5 − 2) = (−1, 3).

3. Leur somme vaut (3, 1) + (−1, 3) = (2, 4).

4. Le calcul direct donne φ(A, C) = (3 − 1, 5 − 1) = (2, 4). La même paire est obtenue : la relation de Chasles est vérifiée pour ces trois points.

On peut aussi partir de A et appliquer le vecteur (3, 1) : l'unique arrivée est B = (4, 2). Ce contrôle illustre le second axiome.

En géométrie, le cadre affine convient quand on manipule des points, des droites, des parallélismes et des translations sans origine naturelle. Si longueurs et angles doivent aussi être comparés, il faut ajouter une structure euclidienne.

Pour changer de repère, les coordonnées des points peuvent varier alors que le déplacement entre deux points reste un vecteur de la direction. On suit donc les points comme des positions et les vecteurs comme des différences de positions.

Un espace vectoriel est préférable lorsqu'une origine distinguée et les opérations sur les éléments eux-mêmes ont un sens. L'espace affine est préférable lorsque seul compte le déplacement relatif entre positions.

Espace vectoriel. Ses éléments sont des vecteurs, avec un vecteur nul distingué, et ils peuvent être additionnés ou multipliés par un scalaire. Dans un espace affine, les éléments de E sont des points : la différence de deux points est un vecteur, mais l'addition de deux points n'est pas définie par la structure seule.

Espace affine euclidien. Il possède en plus une structure permettant de parler de distances et d'angles. Deux configurations ayant les mêmes déplacements affines peuvent donc demander des données supplémentaires dès qu'une longueur ou un angle intervient.

Ensemble vide. Il ne peut pas porter cette structure : le second axiome commence par le choix d'un point A. Il faut donc disposer d'au moins un point.

Dimension zéro. Lorsque V ne contient que le vecteur nul, l'unicité impose que E contienne exactement un point. Ce cas dégénéré est bien un espace affine.

Origine choisie. Écrire B − A après avoir introduit des coordonnées est commode, mais cette soustraction représente φ(A, B). Il ne faut pas en déduire que l'origine du repère appartient à la structure initiale.

Distance supposée. Les axiomes affines ne donnent ni norme ni produit scalaire. Si un raisonnement compare des longueurs ou des angles, il faut préciser la structure supplémentaire utilisée.

Le glossaire espace vectoriel précise la structure qui porte les déplacements, les combinaisons linéaires et la dimension de l'espace affine.