GéométrieObjet géométrique · Glossaire
plan affine euclidien
Un plan affine euclidien est un espace affine de dimension 2 dont l'espace vectoriel directeur est un espace vectoriel euclidien, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire. Cette structure supplémentaire permet de définir des notions métriques — distances entre points, angles entre droites ou vecteurs, orthogonalité — en plus des notions purement affines. Le plan affine euclidien constitue la formalisation abstraite du plan géométrique usuel, tel qu'il est étudié en géométrie classique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les données qui constituent un plan affine euclidien.
- Relier produit scalaire, distance, angle et orthogonalité.
- Calculer exactement la distance entre deux points dans un repère orthonormé.
- Éviter d'utiliser la formule usuelle dans un repère non orthonormé.
En clair
Sur une feuille, deux points déterminent un déplacement : il faut aller d'une certaine quantité horizontalement et verticalement pour passer de l'un à l'autre. Le cadre affine décrit les points, les droites et les déplacements, sans privilégier d'origine.
Le qualificatif euclidien ajoute une manière de mesurer ces déplacements. On peut alors comparer des longueurs, mesurer des angles et reconnaître deux directions perpendiculaires, comme dans le plan géométrique usuel.
Définition
Un plan affine euclidien est un espace affine de dimension 2 : un ensemble de points sur lequel un espace vectoriel réel agit librement et transitivement, avec P + 0 = P et (P + u) + v = P + (u + v). Cet espace vectoriel, appelé espace directeur, décrit les déplacements entre points. À deux points P et Q correspond ainsi un unique vecteur allant de P vers Q, noté . Aucun point ne joue intrinsèquement le rôle d'origine.
L'espace directeur est muni d'un produit scalaire. Si le vecteur allant de P vers Q est noté u, la distance entre P et Q est la norme de u : . Le produit scalaire donne aussi l'angle entre deux vecteurs non nuls. Leur produit scalaire est nul exactement lorsqu'ils sont orthogonaux.
Le choix d'une origine et d'une base orthonormée fournit un repère dans lequel les calculs prennent leur forme familière. Ce repère facilite la description, mais il ne fait pas partie des données intrinsèques du plan affine euclidien.
De quoi c'est fait
La structure réunit quatre éléments. Un ensemble de points forme le plan. Un espace vectoriel réel de dimension 2 fournit les déplacements. Une action affine relie les deux : à partir d'un point et d'un vecteur, elle détermine un unique point d'arrivée. Enfin, un produit scalaire sur l'espace directeur attribue longueurs et angles aux vecteurs.
La distance entre deux points dépend donc d'abord de leur vecteur de déplacement, puis de la norme issue du produit scalaire. De même, l'angle de deux droites dépend de leurs directions et du produit scalaire. Une origine, des axes ou une unité graphique peuvent être choisis pour calculer et dessiner ; ils ne définissent pas la structure elle-même.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé, considérons le point A de coordonnées (1 ; 1) et le point B de coordonnées (4 ; 5). L'unité est la même sur les deux axes.
1. La variation horizontale de A vers B vaut 4 − 1 = 3. La variation verticale vaut 5 − 1 = 4. Le vecteur allant de A vers B a donc pour coordonnées (3 ; 4).
2. Le carré de sa norme est la somme des carrés de ses coordonnées : .
3. La distance entre A et B est donc unités. Le déplacement et le triangle rectangle associé rendent ce calcul visible.
Le contrôle est refaisable avec le triplet 3, 4 et 5 : le carré du plus grand nombre, 25, est égal à 9 + 16. Le résultat est exact.
En pratique
En géométrie analytique, un repère orthonormé transforme un déplacement en deux coordonnées. On utilise alors la formule de distance habituelle. Si le repère n'est pas orthonormé, il faut employer le produit scalaire du repère plutôt que la simple somme des carrés.
Pour vérifier que deux directions sont perpendiculaires, on choisit un vecteur directeur non nul sur chacune et on calcule leur produit scalaire. Un résultat nul établit l'orthogonalité ; un simple dessin ne suffit pas lorsque l'échelle ou l'angle de vue déforme la perception.
Dans une construction géométrique, le cadre affine suffit pour parler d'alignement, de parallélisme ou de milieu. Dès qu'une longueur, un angle, un cercle ou une perpendicularité intervient, la structure euclidienne devient nécessaire.
À ne pas confondre
Plan affine et plan vectoriel. Lorsqu'on considère un plan vectoriel comme un espace affine muni de son origine canonique, le vecteur nul correspond au point origine. Dans un plan affine général, aucun point n'est privilégié : la différence de deux points est un vecteur, mais un point n'est pas lui-même un vecteur.
Structure affine et structure euclidienne. Une transformation affine bijective conserve notamment l'alignement et le parallélisme, mais pas nécessairement les longueurs ni les angles. Sans bijectivité, une transformation affine peut écraser une droite sur un point ou deux droites distinctes sur une même droite. Par exemple, un étirement horizontal bijectif conserve les droites parallèles tout en déformant un carré en rectangle.
Coordonnées et géométrie intrinsèque. Les coordonnées changent lorsque le repère change, tandis que la distance définie par le produit scalaire reste la même. Le couple (3 ; 4) décrit un vecteur seulement après le choix d'une base.
Limites et pièges
Repère oblique ou axes d'échelles différentes. La formule fondée sur la somme des carrés des coordonnées n'est directement valable que dans une base orthonormée. Si les axes ne sont pas perpendiculaires ou n'ont pas la même unité, il faut calculer avec le produit scalaire associé.
Vecteur nul. Sa norme vaut 0, mais il ne possède pas de direction et ne forme donc pas d'angle avec un autre vecteur. Pour parler d'angle entre deux directions, les vecteurs directeurs choisis doivent être non nuls.
Points confondus. Lorsque P et Q désignent le même point, leur distance vaut 0 et le vecteur allant de P vers Q est nul. Le calcul de distance reste valable, contrairement à tout calcul d'angle reposant sur ce vecteur.
Dessin trompeur. Deux segments qui paraissent perpendiculaires ou de même longueur ne le sont pas forcément. Il faut revenir aux vecteurs et au produit scalaire, en tenant compte du repère et de son échelle.
Pour aller plus loin
L'espace affine isole les relations qui ne dépendent ni des longueurs ni des angles : déplacements, alignement et parallélisme.
Le produit scalaire explique précisément l'origine de la norme, de l'orthogonalité et de la mesure des angles.
L'espace vectoriel approfondit le cadre algébrique de l'espace directeur et le rôle d'une base dans les calculs.
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