Perpendiculaire commune

Imaginez deux tiges droites qui passent dans l’espace sans se croiser et sans être parallèles. Un segment rigide peut relier ces tiges en formant un angle droit avec chacune. La droite qui porte ce segment est leur perpendiculaire commune.

Parmi tous les segments joignant les deux droites, celui-ci est le plus court. Sa longueur donne donc la distance entre les deux droites gauches.

Dans l’espace euclidien, deux droites sont dites gauches lorsqu’elles ne sont pas contenues dans un même plan. Elles ne sont alors ni parallèles ni sécantes. Leur perpendiculaire commune est l’unique droite qui rencontre chacune d’elles à angle droit. Si ses points d’intersection avec les deux droites sont nommés A et C, le segment AC réalise la plus courte distance entre les deux droites.

Soient une première droite passant par un point P et dirigée par un vecteur non nul u, et une seconde passant par un point Q et dirigée par un vecteur non nul v. Comme les droites sont gauches, les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires. Le vecteur produit vectoriel u × v est non nul et perpendiculaire aux deux directions. La distance recherchée est la valeur absolue du produit mixte de Q − P, u et v, divisée par la norme de u × v :

Cette formule donne la longueur de AC. Pour construire ses extrémités, on paramètre un point de chaque droite : A(s) = P + su et C(t) = Q + tv. On résout ensuite les deux conditions scalaires (C(t) − A(s)) · u = 0 et (C(t) − A(s)) · v = 0. Les paramètres s et t obtenus déterminent A et C. Dans l’exemple guidé, la solution est s = 0 et t = −1 : A = P et C = B − v = (0 ; 0 ; 1).

Dans un repère orthonormé, considérons deux droites gauches. La première passe par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 0) et la seconde par le point B de coordonnées (0 ; 1 ; 1).

Données :
La première droite a pour vecteur directeur u = (1 ; 0 ; 0).
La seconde a pour vecteur directeur v = (0 ; 1 ; 0).
Le vecteur allant de A vers B vaut AB = (0 ; 1 ; 1).

1. Calculons une direction perpendiculaire aux deux droites : u × v = (0 ; 0 ; 1).

2. Le produit scalaire de AB avec u × v vaut 1, tandis que la norme de u × v vaut 1. La formule de distance donne donc d = |1| / 1 = 1.

3. Sur la seconde droite, le point C de coordonnées (0 ; 0 ; 1) est obtenu depuis B en avançant de −1 fois le vecteur v.

4. Le vecteur AC = (0 ; 0 ; 1) est orthogonal à u et à v. La droite passant par A et C est donc la perpendiculaire commune.

Le segment AC mesure exactement 1 unité. Le contrôle se refait par les produits scalaires AC · u = 0 et AC · v = 0, puis par la norme de AC, égale à 1.

En géométrie analytique, la perpendiculaire commune fournit la distance entre deux trajectoires rectilignes non coplanaires. On calcule d’abord une direction normale aux deux trajectoires, puis on cherche les deux points qu’elle relie.

Pour déterminer si deux droites de l’espace se rencontrent, on résout d’abord leurs équations paramétriques. Si elles sont gauches, la recherche d’un point d’intersection est remplacée par celle des extrémités du plus court segment qui les joint.

Dans un calcul vectoriel, le produit vectoriel des directions sert lorsque celles-ci ne sont pas colinéaires. Si ce produit est nul, les directions sont colinéaires : les droites peuvent être parallèles distinctes ou confondues, et il faut employer une méthode adaptée à ce cas.

Deux droites perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires sont sécantes et forment un angle droit. La perpendiculaire commune à deux droites gauches est une troisième droite : elle coupe chacune des deux premières à angle droit.

Une transversale. Une transversale coupe deux droites, mais elle n’est pas nécessairement orthogonale à chacune. Le test décisif consiste à vérifier les deux angles droits, ou les deux produits scalaires nuls.

La projection orthogonale sur un plan. Une projection envoie un point ou un objet sur un plan. Ici, le segment de distance relie directement deux droites de l’espace, sans choisir de plan de projection.

Droites parallèles distinctes. Le produit vectoriel de leurs directions est nul, donc la formule par produit mixte devient indéfinie. Dans le plan contenant les deux droites, chaque point de la première détermine une droite perpendiculaire à leur direction qui rencontre la seconde. En faisant varier ce point, on obtient une infinité de perpendiculaires communes, et les segments interceptés ont tous pour longueur la distance entre les deux droites.

Droites sécantes. Leur distance minimale vaut 0, atteinte au point d’intersection. Le segment compris entre les droites est réduit à un point : ce n’est plus le segment non nul propre au cas de deux droites gauches.

Directions presque parallèles. Lorsque la norme de u × v est très petite, le calcul numérique peut devenir sensible aux arrondis. Il faut conserver une précision suffisante et traiter séparément le cas où cette norme est nulle.

Dessin en perspective. Une projection sur la page ne conserve pas nécessairement les angles. L’apparence du tracé ne suffit donc pas : l’orthogonalité se contrôle dans le repère de l’espace par les produits scalaires.

Le produit vectoriel explique pourquoi une direction commune peut être perpendiculaire aux deux vecteurs directeurs.

La fiche Perpendiculaires (droites) précise le critère d’angle droit utilisé aux deux points de contact.