théorème de Pohlke

Sur une feuille, tracez depuis un même point trois flèches qui ne restent pas toutes sur une seule droite. Elles peuvent avoir des longueurs et des angles très différents. Le théorème de Pohlke affirme qu'il existe une manière de regarder trois axes perpendiculaires de l'espace qui produit ce dessin, à un agrandissement ou une réduction près.

C'est la garantie mathématique qui autorise une perspective cavalière à déformer les directions de l'espace tout en représentant un véritable repère orthogonal.

Le théorème de Pohlke est un théorème d'existence sur les projections parallèles. On considère un plan P et trois vecteurs du plan, notés u, v et w. Ils doivent engendrer P : leurs combinaisons linéaires permettent d'obtenir toute direction du plan, ce qui revient à demander qu'au moins deux d'entre eux ne soient pas colinéaires.

Il existe alors un trièdre orthonormé de l'espace, formé de trois vecteurs unitaires e₁, e₂ et e₃ deux à deux perpendiculaires, ainsi qu'une projection parallèle π vers P et un facteur d'échelle positif λ, tels que $\pi (e_1)=\lambda u,\pi (e_2)=\lambda v,\pi (e_3)=\lambda w\backslash pi(e\_1)=\backslash lambda\; u,\backslash quad\; \backslash pi(e\_2)=\backslash lambda\; v,\backslash quad\; \backslash pi(e\_3)=\backslash lambda\; w$. Le même facteur λ s'applique aux trois images : c'est le sens de « à une homothétie près ».

Le résultat porte sur l'existence d'une interprétation spatiale, pas sur son unicité. Il ne prétend pas non plus que les longueurs ou les angles lus sur la feuille sont ceux du trièdre avant projection.

Soient trois vecteurs coplanaires u, v et w dont l'ensemble engendre un plan P. Alors il existe, dans l'espace, trois vecteurs unitaires deux à deux perpendiculaires dont les images par une même projection parallèle sont respectivement proportionnelles à u, v et w avec un facteur commun positif. Ainsi, tout dessin plan non dégénéré de trois axes issus d'une même origine admet une interprétation comme perspective parallèle d'un trièdre orthonormé.

Le cadre est celui d'une projection parallèle de l'espace tridimensionnel sur un plan. Les trois données sont des vecteurs du plan, donc leur position sur la feuille est indifférente ; pour dessiner un repère, on les translate simplement vers une origine commune. La condition vérifiable est qu'ils engendrent le plan : deux directions indépendantes doivent apparaître parmi les trois.

Si les trois vecteurs sont alignés, leurs combinaisons restent sur une droite et l'hypothèse échoue. Le dessin ne peut pas être l'image plane entière d'un trièdre par une projection de rang deux ; il faut modifier au moins une direction ou traiter la figure comme une projection sur une droite. Un vecteur nul n'est toutefois pas bloquant si les deux autres engendrent le plan.

On dessine trois axes depuis une origine O dans un repère de la feuille. Leurs vecteurs sont u = (120, 0), v = (0, 120) et w = (60, 60), dans une même unité graphique.

1. Les vecteurs u et v pointent dans deux directions perpendiculaires sur la feuille. Ils ne sont donc pas colinéaires.
2. Leur déterminant vaut 120 × 120 − 0 × 0 = 14 400. Comme il est non nul, u et v engendrent le plan.
3. Le troisième vecteur vérifie $w=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}vw=\backslash frac\{1\}\{2\}u+\backslash frac\{1\}\{2\}v$. Il appartient bien au même plan sans supprimer l'indépendance des deux premiers.
4. Le théorème s'applique : ces trois flèches sont, à une échelle commune près, les images parallèles des trois axes d'un trièdre orthonormé.

Le contrôle est refaisable en comparant les coordonnées : la moitié de (120, 0) plus la moitié de (0, 120) donne bien (60, 60). La figure rend visibles les deux directions indépendantes et cette relation.

Pour dessiner un solide en perspective cavalière, on choisit trois directions planes pour ses axes, puis on reporte les arêtes parallèles selon ces directions. Le théorème garantit qu'un triplet non dégénéré possède une interprétation spatiale cohérente.

Pour relire un dessin technique, on repère les trois familles de droites parallèles qui figurent les directions de l'espace. Si deux familles suffisent à engendrer le plan, leur déformation apparente n'empêche pas de les rapporter à des axes orthogonaux avant projection.

Si les droites censées rester parallèles convergent vers des points de fuite, une projection centrale décrit mieux le dessin. Le critère observable est donc la conservation, ou non, du parallélisme.

Théorème de Pohlke et perspective cavalière. Le premier est un résultat d'existence ; la seconde est un mode de représentation. Un dessin d'axes non dégénéré relève du théorème, tandis qu'un cube tracé avec des arêtes fuyantes parallèles relève de la technique graphique.

Projection parallèle et projection centrale. Dans une projection parallèle, les rayons de projection ont tous la même direction et les droites parallèles restent parallèles lorsqu'elles ne s'écrasent pas. Dans une projection centrale, les rayons passent par un centre ; des parallèles peuvent alors converger vers un point de fuite.

Triplet dégénéré. Si les trois vecteurs sont colinéaires, le dessin ne couvre qu'une droite. Le symptôme est qu'aucun couple ne forme deux directions indépendantes ; il faut changer au moins un vecteur avant d'invoquer le théorème.

Axe réduit à un point. Un des trois vecteurs peut être nul lorsque sa direction spatiale est parallèle aux rayons de projection. Le théorème reste applicable si les deux autres vecteurs engendrent le plan ; il ne faut donc pas confondre vecteur nul isolé et triplet dégénéré.

Existence sans unicité. Le même triplet plan peut provenir de plusieurs configurations spatiales et directions de projection. Le dessin seul ne suffit pas à reconstruire une caméra ou un trièdre unique ; des contraintes supplémentaires sont nécessaires.

Métrique déformée. L'orthogonalité dans l'espace n'impose ni angles droits ni longueurs égales sur la feuille. Il faut raisonner avec la projection choisie, et non mesurer directement le dessin comme s'il conservait les distances.

La fiche perspective cavalière montre comment cette représentation organise concrètement les directions et les arêtes d'un solide.

La fiche projection replace la projection parallèle dans la famille plus large des transformations qui envoient l'espace sur un support de dimension inférieure.