trièdre

Imaginez trois flèches partant du même point : l'une va vers la droite, la deuxième vers l'avant et la troisième vers le haut. Elles indiquent trois directions indépendantes de l'espace. Cet assemblage ordonné forme un trièdre.

L'ordre des flèches compte. Avec le pouce, l'index et le majeur de la main droite orientés selon les trois directions positives, on reconnaît le sens dit direct. Si deux directions sont échangées, le trièdre devient indirect.

Un trièdre d'origine O est un triplet ordonné de trois axes orientés issus de O, dont les vecteurs directeurs ne sont pas coplanaires. Les trois vecteurs forment alors une base de l'espace : chacun apporte une direction qui ne peut pas être obtenue à partir des deux autres. Dans la description géométrique équivalente, les trois directions délimitent des faces portées par des demi-plans issus du sommet commun.

Notons u, v et w les vecteurs directeurs, écrits dans cet ordre. Leur non-coplanarité se vérifie par le déterminant de la matrice qui les prend pour colonnes :Le trièdre est direct lorsque ce déterminant est positif dans une base de référence directe, et indirect lorsqu'il est négatif. Le signe dépend donc de l'ordre choisi et de l'orientation de référence.

Un trièdre peut être oblique. Il est orthogonal lorsque ses axes sont deux à deux perpendiculaires, et orthonormal lorsque les trois vecteurs directeurs sont en plus de longueur 1. Le repère orthonormal usuel, avec ses axes x, y et z pris dans cet ordre, fournit le modèle courant d'un trièdre direct. La figure rend visibles ce sommet commun, ces trois directions et leur ordre.

Dans le repère orthonormal usuel, on choisit l'origine O et trois vecteurs : u a pour coordonnées (1, 0, 0), v a pour coordonnées (0, 1, 0) et w a pour coordonnées (0, 0, 1). Il faut déterminer s'ils forment un trièdre et préciser son orientation.

1. Placez u, v et w comme colonnes d'une matrice, dans cet ordre.
2. La matrice obtenue est la matrice identité de dimension 3.
3. Calculez son déterminant :4. Comme 1 n'est pas nul, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires : ils définissent bien un trièdre.
5. Comme 1 est positif dans le repère de référence direct, ce trièdre est direct.

Le contrôle se refait avec la main droite : le pouce suit u, l'index suit v et le majeur suit w. Échanger u et v donnerait un déterminant égal à −1 et ferait passer au trièdre indirect.

Pour lire des coordonnées dans l'espace, on fixe un trièdre à l'origine. Trois axes non coplanaires suffisent ; on préfère un trièdre orthonormal lorsque l'on veut que longueurs et angles se calculent avec les formules usuelles.

En dessin technique ou en modélisation 3D, l'ordre des axes indique l'orientation de la scène. La règle de la main droite permet de vérifier le sens direct ; si deux axes ont été intervertis, les orientations et certaines rotations apparaissent inversées.

Dans un calcul vectoriel, le déterminant teste les trois directions à la fois. Un résultat non nul valide le trièdre ; son signe distingue direct et indirect, tandis que sa valeur absolue mesure le volume orienté du parallélépipède associé.

Un trièdre n'est pas un repère complet. Le trièdre donne une origine et trois axes orientés ; un repère ajoute le choix précis des vecteurs qui fixent l'unité sur chaque axe. Deux repères peuvent donc partager le même trièdre tout en utilisant des unités différentes.

Un trièdre n'est pas un tétraèdre. Le premier est organisé autour de trois directions issues d'un sommet et n'est pas un solide borné. Le second est un polyèdre fermé possédant quatre faces triangulaires.

Un trièdre orthogonal n'est pas nécessairement orthonormal. Trois axes perpendiculaires donnent un trièdre orthogonal ; les vecteurs choisis sur ces axes doivent aussi avoir une longueur égale à 1 pour être orthonormaux.

Si les trois vecteurs sont coplanaires, leur déterminant vaut 0. On peut encore tracer trois flèches depuis le même point, mais elles ne forment pas une base de l'espace et ne définissent pas un trièdre au sens retenu ici. Il faut remplacer au moins une direction par une direction hors du plan.

Les mots « direct » et « indirect » ne décrivent pas trois axes non ordonnés. Ils s'appliquent au triplet pris dans un ordre précis, par rapport à une orientation de référence. Échanger exactement deux axes change le signe du déterminant et inverse l'orientation.

Un dessin en perspective peut faire sembler deux axes confondus ou modifier les angles apparents. Ce défaut de projection ne prouve ni la coplanarité ni l'orthogonalité. Il faut revenir aux coordonnées des vecteurs, au déterminant et, si nécessaire, à leurs produits scalaires.

Le trièdre conduit naturellement à l'orientation de l'espace et au produit mixte. Le déterminant des trois vecteurs directeurs donne un volume orienté : sa valeur absolue mesure le volume du parallélépipède associé, tandis que son signe mémorise l'orientation du triplet.

Cette lecture permet aussi d'étudier un changement de base. Une transformation dont le déterminant est positif conserve l'orientation ; une transformation dont le déterminant est négatif l'inverse. Un déterminant nul écrase au moins une direction et ne transporte plus une base de l'espace vers une autre.