Une droite, chez Euclide, partageait déjà le plan en deux régions distinctes, mais on n’admettait pas de longueurs négatives. Comment associer les notions algébriques de « sens de parcours » et de mesure en géométrie ?
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Nous sommes confrontés quotidiennement à des ruptures de symétries qui nous permettent de faire la différence entre haut et bas, droite et gauche. De même, l’orientation des objets de nos espaces mathématiques, quand elle existe, n’échappe pas à l’arbitraire d’une définition.
L'algèbre linéaire est née du besoin de trouver un cadre à la géométrie usuelle. Du point de vue de la pratique calculatoire, c'est réussi ! La simplification de certaines opérations et manipulations, devenues plus systématiques, simplifie et rend plus rigoureux le raisonnement géométrique.
Michel Chasles en avait rêvé, la théorie des espaces vectoriels le permet désormais : on peut faire de la géométrie sans tracer aucune figure. Ainsi, deux points de vue coexistent, géométrique et algébrique, et tout un chacun peut se placer dans celui où il se sent le plus à l'aise !
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