AnalyseObjet géométrique · Glossaire
cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé, parcouru dans le sens direct, c'est-à-dire dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Il constitue le support naturel de la définition des fonctions trigonométriques cosinus et sinus : pour un angle orienté θ, le point correspondant sur le cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Tout angle réel correspond à un unique point du cercle, et la périodicité des fonctions trigonométriques se lit directement sur cette représentation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le centre, le rayon, le point de départ et le sens direct.
- Lire le cosinus comme abscisse et le sinus comme ordonnée du point image.
- Placer l'angle π/3 et contrôler exactement les coordonnées obtenues.
- Reconnaître la périodicité et traiter les angles négatifs ou supérieurs à un tour.
En clair
Imaginez une aiguille de longueur 1, fixée au centre d'un cercle. Elle part vers la droite et tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Sa pointe atteint toujours un point du cercle. La position horizontale de cette pointe donne le cosinus de l'angle parcouru ; sa position verticale donne le sinus. Après un tour complet, l'aiguille revient au même point : les mêmes valeurs recommencent.
Définition
Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, l'origine, et de rayon 1. Il est orienté dans le sens direct : les angles positifs se parcourent dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Le point de départ usuel est le point de coordonnées (1, 0), situé sur l'axe horizontal positif.
Un angle réel est noté θ. Le point du cercle associé à cet angle est noté M. Son abscisse, c'est-à-dire sa coordonnée horizontale, vaut cos θ ; son ordonnée, la coordonnée verticale, vaut sin θ. Cette relation s'écrit . Comme M appartient au cercle de rayon 1, ses coordonnées vérifient l'identité .
Chaque angle détermine un seul point, mais plusieurs angles peuvent déterminer le même point. Ajouter un tour complet, soit 2π radians, ne change pas la position. Pour tout entier relatif noté k, les angles θ et θ + 2kπ ont donc les mêmes sinus et cosinus.
De quoi c'est fait
La construction réunit cinq éléments. Le repère orthonormé fournit deux axes perpendiculaires avec la même unité. Son origine O est le centre du cercle, et le rayon vaut exactement 1. Le point (1, 0) fixe le départ de la mesure. Enfin, le sens direct fixe l'orientation des angles positifs.
Le rayon unité relie la géométrie aux coordonnées : pour un point M du cercle, la projection de M sur l'axe horizontal donne cos θ, tandis que sa projection sur l'axe vertical donne sin θ. Le repère doit être orthonormé pour que ces deux lectures vérifient cos2 θ + sin2 θ = 1. La couleur ou la taille du dessin ne définissent pas l'objet ; le centre, le rayon, le repère, le départ et l'orientation le définissent.
Un exemple, pas à pas
On cherche le point M associé à un angle de 60°. Les données sont les suivantes :
• le cercle est centré en O et son rayon vaut 1 ;
• le départ est le point (1, 0) ;
• le sens positif est antihoraire ;
• 60° correspondent à π/3 radians.
• le cercle est centré en O et son rayon vaut 1 ;
• le départ est le point (1, 0) ;
• le sens positif est antihoraire ;
• 60° correspondent à π/3 radians.
1. On part de (1, 0) et on tourne de 60° dans le sens direct.
2. L'abscisse du point obtenu est le cosinus de π/3.
3. L'ordonnée du point obtenu est le sinus de π/3.
La construction associe au rayon OM ses projections horizontale et verticale, ce qui rend ces deux coordonnées visibles.
2. L'abscisse du point obtenu est le cosinus de π/3.
3. L'ordonnée du point obtenu est le sinus de π/3.
La construction associe au rayon OM ses projections horizontale et verticale, ce qui rend ces deux coordonnées visibles.
Le résultat est donc . On le contrôle avec l'équation du cercle : . Le point appartient bien au cercle unité.
En pratique
Pour retrouver un sinus ou un cosinus remarquable, on place l'angle depuis (1, 0), puis on lit les projections du point obtenu. Une calculatrice est préférable lorsque l'angle n'a pas de construction remarquable ou qu'une valeur décimale est demandée.
Pour déterminer le signe d'une valeur trigonométrique, on repère le quadrant du point. Une position à gauche donne un cosinus négatif ; une position sous l'axe horizontal donne un sinus négatif. Cette lecture évite de mémoriser séparément une longue liste de signes.
Pour résoudre une équation comme sin θ = 1/2, on cherche les points du cercle dont l'ordonnée vaut 1/2, puis on lit les angles correspondants. Le cercle est plus informatif qu'un triangle rectangle lorsque l'angle peut dépasser 90° ou être négatif.
À ne pas confondre
Cercle trigonométrique et cercle de rayon 1. Un cercle de rayon 1 est un cercle unité, quel que soit son centre. Il devient le cercle trigonométrique lorsqu'il est centré à l'origine d'un repère orthonormé et muni du sens direct.
Angle et point image. Un angle réel possède un seul point image, mais un point du cercle ne détermine pas un seul angle réel. Le point (1, 0), par exemple, représente 0, 2π, −2π et tous les tours entiers.
Sinus et cosinus. Le cosinus est l'abscisse du point et le sinus est son ordonnée. Pour l'angle π/2, le point est (0, 1) : le cosinus vaut 0 et le sinus vaut 1, ce qui tranche l'ordre des deux coordonnées.
Limites et pièges
Angles négatifs. Le cercle reste orienté dans le sens direct, mais un angle négatif se reporte dans le sens opposé. Le symptôme d'erreur est un sinus au mauvais signe ; pour −π/3, il faut partir de (1, 0) et tourner de 60° dans le sens horaire.
Plusieurs tours. Une mesure supérieure à 2π ne sort pas du cercle. On retire ou on ajoute des multiples de 2π jusqu'à obtenir un angle plus simple : 7π/3 et π/3 ont le même point image.
Points sur les axes. À 0, π/2, π et 3π/2, l'une des coordonnées vaut exactement 0. Un dessin imprécis peut suggérer une petite valeur non nulle ; il faut employer les coordonnées exactes (1, 0), (0, 1), (−1, 0) et (0, −1).
Unité de l'angle. La position dépend de l'unité annoncée. Le nombre 60 désigne 60° si le degré est précisé, mais 60 radians dans une convention en radians ; il faut convertir avant de placer le point.
Pour aller plus loin
radian — Relier la mesure d'un angle à la longueur de l'arc intercepté sur un cercle.
cosinus d'un angle — Approfondir la coordonnée horizontale et ses différentes définitions géométriques.
Nombres complexes et trigonométrie — Représenter les points du cercle unité par des nombres complexes et relier angles et arguments.
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