GéométrieObjet mathématique · Glossaire
fonction circulaire
Les fonctions circulaires sont les quatre fonctions trigonométriques issues du cercle unité : à un angle orienté, le cosinus et le sinus associent l’abscisse et l’ordonnée du point correspondant, tandis que la tangente est le quotient du sinus par le cosinus et la cotangente celui du cosinus par le sinus, lorsque le dénominateur n’est pas nul. Elles transforment ainsi une rotation en valeurs périodiques utiles pour décrire angles, oscillations et phénomènes cycliques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier cosinus et sinus aux coordonnées d’un point du cercle unité.
- Former tangente et cotangente en vérifiant que leur dénominateur n’est pas nul.
- Calculer les quatre valeurs exactes pour l’angle π/3.
- Distinguer les périodes 2π et π ainsi que les deux familles d’angles exclus.
En clair
Imaginez un rayon qui tourne dans un cercle de rayon 1. Son extrémité monte, descend, avance et recule. Le cosinus mesure sa position horizontale, tandis que le sinus mesure sa position verticale.
Après un tour complet, les mêmes positions reviennent : c’est la périodicité. La tangente et la cotangente comparent les deux coordonnées. Elles ne sont donc pas définies lorsque la coordonnée placée au dénominateur vaut zéro.
Définition
Une fonction circulaire associe à un angle orienté un nombre lu sur le cercle unité. Pour un angle réel noté θ, mesuré en radians depuis l’axe horizontal positif, le point correspondant du cercle a pour coordonnées . Le cosinus est donc l’abscisse du point et le sinus son ordonnée. Ils vérifient l’identité .
La tangente est le quotient du sinus par le cosinus : . Elle existe lorsque le cosinus n’est pas nul, donc hors des multiples impairs de π/2. La cotangente est le quotient du cosinus par le sinus : . Elle existe lorsque le sinus n’est pas nul, donc hors des multiples de π.
Le sinus et le cosinus reprennent leurs valeurs après une variation de 2π. La tangente et la cotangente reprennent les leurs après une variation de π, sur leur domaine de définition. Ces quatre fonctions interviennent notamment en analyse, en géométrie, en physique et dans le traitement du signal.
De quoi c'est fait
La construction réunit quatre éléments. Un repère fixe une origine et deux axes. Le cercle, centré à l’origine et de rayon 1, impose l’échelle. Un angle orienté θ détermine un rayon issu du centre. Enfin, l’extrémité de ce rayon fournit une abscisse et une ordonnée, qui sont respectivement cos θ et sin θ. La projection sur chaque axe rend cette dépendance géométrique visible.
La tangente dépend à la fois de ces deux coordonnées et de la condition cos θ ≠ 0 ; la cotangente dépend des mêmes coordonnées et de la condition sin θ ≠ 0. L’orientation choisie distingue les angles positifs des angles négatifs. En revanche, la couleur, l’épaisseur du cercle ou la taille du dessin ne changent pas les fonctions, dès lors que le cercle représente bien un rayon unité.
Un exemple, pas à pas
Prenons un angle orienté θ égal à π/3 radian, soit un sixième de tour. Les données sont le cercle de rayon 1, l’abscisse 1/2 et l’ordonnée √3/2 du point associé. On cherche les quatre fonctions circulaires à cet angle.
1. L’abscisse donne directement .
2. L’ordonnée donne .
3. Le quotient de l’ordonnée par l’abscisse donne .
4. Le quotient inverse donne .
2. L’ordonnée donne .
3. Le quotient de l’ordonnée par l’abscisse donne .
4. Le quotient inverse donne .
Les quatre résultats sont exacts et sans unité. Un contrôle refaisable consiste à élever le sinus et le cosinus au carré : 3/4 + 1/4 = 1. Aucun dénominateur n’est nul, donc la tangente et la cotangente existent bien pour cet angle.
En pratique
En géométrie, le sinus et le cosinus transforment un angle et une longueur en composantes horizontale et verticale. Si les côtés d’un triangle rectangle sont déjà connus, le théorème de Pythagore est plus direct ; les fonctions circulaires deviennent utiles lorsqu’un angle intervient.
En physique, une rotation ou une oscillation régulière se décrit par des coordonnées qui se répètent. Une description par morceaux convient mieux si le mouvement présente des ruptures visibles plutôt qu’une évolution périodique régulière.
En traitement du signal, sinus et cosinus servent de motifs périodiques de référence. La période repérée dans les données indique leur cadence ; si aucune répétition stable n’apparaît, un modèle périodique unique ne suffit pas.
À ne pas confondre
Fonction circulaire et fonction circulaire réciproque. Le sinus transforme un angle en nombre, tandis que l’arcsinus retrouve un angle dans un intervalle choisi. Par exemple, sin(π/6) = 1/2, mais arcsin(1/2) = π/6 dans sa branche principale.
Fonction réciproque et inverse multiplicatif. La réciproque de la tangente est l’arctangente ; le nombre 1/tan θ est la cotangente lorsque les deux expressions existent. Pour θ = π/4, arctan(1) vaut π/4, alors que 1/tan(π/4) vaut 1.
Fonctions circulaires et fonctions hyperboliques. Les premières viennent du cercle et vérifient cos² θ + sin² θ = 1. Les fonctions hyperboliques viennent d’une hyperbole et obéissent à une identité de signe différent ; leur tracé n’est pas périodique.
Limites et pièges
Cosinus nul. Aux angles π/2 + kπ, où k est un entier, la tangente demanderait une division par zéro. Une valeur numérique très grande près de ces angles n’est pas une valeur au point interdit : il faut signaler l’absence de définition.
Sinus nul. Aux angles kπ, la cotangente demanderait une division par zéro. En particulier, cot 0 n’existe pas, même si cos 0 vaut 1. Il faut vérifier le dénominateur avant de former le quotient.
Période et tour complet. Sinus et cosinus ont pour période fondamentale 2π, mais la tangente et la cotangente ont pour période fondamentale π. Dire que toutes les fonctions circulaires exigent un tour complet pour retrouver leur valeur serait donc faux.
Radians et degrés. Les écritures π/3 et 60° représentent le même angle, mais un calculateur doit utiliser le mode correspondant à la donnée. Le symptôme d’un mauvais mode est une valeur qui échoue au contrôle géométrique, par exemple cos(π/3) ≠ 1/2.
Pour aller plus loin
Le cercle trigonométrique détaille le support géométrique sur lequel se lisent le sinus et le cosinus.
La fiche radian précise l’unité naturelle des angles et le lien entre longueur d’arc et rayon.
La périodicité d'une fonction approfondit la répétition des valeurs et la notion de période fondamentale.
L’article Nombres complexes et trigonométrie ouvre vers une autre représentation des angles et des rotations.
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