AnalyseNotion · Glossaire
cotangente
La cotangente est une fonction trigonométrique définie comme le rapport du cosinus au sinus. Lorsque la tangente existe et n'est pas nulle, la cotangente est aussi son inverse. Elle est aujourd'hui peu utilisée dans les mathématiques courantes. Sa notation standard est cot x ou cotan x ; la notation cotg x est ancienne et tombée en désuétude. Dans un triangle rectangle ABC d'hypoténuse [AB], la cotangente de l'angle en A vaut AC/BC, c'est-à-dire le rapport du côté adjacent au côté opposé. En trigonométrie analytique, on a : cot x = cos x / sin x = tan(π/2 − x). Lorsque tan x existe et n'est pas nulle, on a aussi cot x = 1 / tan x. La fonction cotan est définie sur ℝ privé des multiples de π, soit ℝ \ {kπ, k ∈ ℤ}. Elle est périodique de période π, continue et dérivable sur chaque intervalle ouvert de la forme ]kπ, (k+1)π[. Sa dérivée est −1/sin²(x).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la cotangente au rapport adjacent/opposé et au quotient cosinus/sinus.
- Calculer cot A = 4/3 dans un triangle rectangle 3–4–5 et contrôler le résultat.
- Identifier le domaine, la période π et la dérivée de la fonction cotan.
- Distinguer l'inverse multiplicatif de la tangente et les cas où l'écriture 1/tan x échoue.
En clair
Imaginez un triangle rectangle et placez-vous à l'un de ses angles aigus. Deux côtés vous servent de repères : le côté non hypoténuse qui touche l'angle, appelé côté adjacent, et celui qui lui fait face, appelé côté opposé.
La cotangente compare leurs longueurs dans cet ordre : adjacent puis opposé. Si l'adjacent mesure 4 unités et l'opposé 3 unités, la cotangente vaut 4/3. Elle indique donc combien de fois le premier côté représente le second.
Définition
Pour un angle réel noté x, la cotangente, écrite cot x ou cotan x, est le quotient du cosinus par le sinus. Elle est définie lorsque le sinus de x n'est pas nul, donc pour tout réel sauf les multiples entiers de π. Si k désigne un entier, son domaine est . La notation cotg x est ancienne et n'est plus d'usage courant.
Les identités usuelles sont . On peut aussi écrire cot x = 1/tan x lorsque la tangente de x est elle-même définie et non nulle. Dans un triangle rectangle ABC dont [AB] est l'hypoténuse, la cotangente de l'angle en A vaut AC/BC : le côté adjacent divisé par le côté opposé.
La fonction cotan est périodique de période π. Elle est continue et dérivable sur chaque intervalle ouvert ]kπ, (k + 1)π[. Sa dérivée est . Bien que correcte et utile dans certains calculs, cette fonction apparaît aujourd'hui moins souvent que le sinus, le cosinus ou la tangente dans les mathématiques courantes.
Un exemple, pas à pas
Considérons le triangle ABC rectangle en C. Les données sont AC = 4 unités, BC = 3 unités et AB = 5 unités. Nous cherchons la cotangente de l'angle en A. La figure associe ces trois longueurs aux côtés utilisés dans le calcul.
1. Vérifions la configuration : 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 52. Le triangle est bien rectangle en C et [AB] est son hypoténuse.
2. Pour l'angle en A, AC est le côté adjacent et BC le côté opposé. Leur rapport donne . La cotangente vaut donc 4/3, sans unité.
3. Calculons séparément le cosinus et le sinus : cos A = 4/5 et sin A = 3/5. Leur quotient vaut , ce qui retrouve le même résultat.
4. Comme tan A = BC/AC = 3/4, son inverse multiplicatif vaut 1/(3/4) = 4/3. Ce contrôle refaisable confirme la valeur obtenue par les deux autres chemins.
En pratique
Dans un triangle rectangle, la cotangente est adaptée lorsque les longueurs connues sont le côté adjacent et le côté opposé à l'angle étudié. Si l'ordre opposé/adjacent est plus naturel dans le calcul, la tangente fournit directement ce rapport.
Dans un calcul trigonométrique, la forme cos x/sin x fait apparaître immédiatement la condition sin x ≠ 0. La forme 1/tan x est plus courte seulement lorsque tan x existe et ne vaut pas zéro.
Pour étudier la fonction, on travaille séparément entre deux multiples consécutifs de π. Sur chacun de ces intervalles, la cotangente est continue et sa dérivée −1/sin2(x) peut être utilisée sans franchir un point exclu du domaine.
À ne pas confondre
Cotangente et fonction réciproque de la tangente. Dire que cot x est « l'inverse » de tan x signifie ici un inverse multiplicatif : leur produit vaut 1 lorsque les deux expressions existent. Cela ne signifie pas que la cotangente renvoie l'angle dont la tangente est x.
Cotangente et tangente. Dans un triangle rectangle, cot A = adjacent/opposé, tandis que tan A = opposé/adjacent. Avec les côtés 4 et 3 de l'exemple, ces valeurs sont respectivement 4/3 et 3/4.
Cotangente et tangente de l'angle complémentaire. La cotangente de x égale tan(π/2 − x), pas tan x. Le changement d'angle échange les rôles des côtés adjacent et opposé.
Limites et pièges
Un multiple de π. Si x = kπ avec k entier, alors sin x = 0 et le quotient cos x/sin x impose une division par zéro. La cotangente n'est pas définie : il faut exclure ce point et travailler sur l'un des intervalles voisins.
La formule 1/tan x. Pour x = π/2 + kπ, la tangente n'est pas définie, alors que cot x = cos x/sin x vaut 0. Dans ce cas, il faut employer le quotient cosinus/sinus plutôt que 1/tan x.
La période. Ajouter π à l'angle ne change pas la cotangente : cot(x + π) = cot x. Ajouter 2π donne aussi la même valeur, mais masque la période π propre à cette fonction.
La notation cotg. Une source ancienne peut écrire cotg x. Le symbole désigne bien la cotangente, mais la notation actuelle à employer est cot x ou cotan x.
Pour aller plus loin
Le cercle trigonométrique montre comment le cosinus et le sinus d'un angle deviennent des coordonnées, puis alimentent leur quotient.
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