Cosécante

Sur le cercle trigonométrique, choisissez un angle et lisez son sinus. La cosécante consiste à prendre l’inverse de cette valeur. Ainsi, un sinus égal à 1/2 donne une cosécante égale à 2.

Quand le sinus se rapproche de zéro, son inverse devient très grand en valeur absolue. Lorsque le sinus vaut exactement zéro, aucune cosécante n’existe : on ne peut pas diviser par zéro.

La cosécante, notée cosec, est la fonction réciproque au sens multiplicatif du sinus. Pour un nombre réel x représentant un angle en radians, elle est définie par $\mathrm{cosec}(x)=\frac{1}{\sin (x)}\backslash operatorname\{cosec\}(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sin(x)\}$. Cette écriture exige que le sinus de x soit non nul. Le domaine est donc l’ensemble des réels privé des multiples entiers de π.

La fonction est impaire : changer x en son opposé change le signe de sa cosécante. Elle est périodique de période 2π, car le sinus reprend ses valeurs après un tour complet. Ses valeurs vérifient |cosec(x)| ≥ 1. Son graphe comporte une asymptote verticale à chaque multiple entier de π, là où le dénominateur s’annule.

On cherche la cosécante de l’angle x = π/6 radians. Les données sont l’angle x et la valeur connue sin(π/6) = 1/2.

1. Vérifier le domaine : le sinus vaut 1/2, donc il n’est pas nul.
2. Prendre l’inverse multiplicatif de 1/2.
3. Calculer $\mathrm{cosec}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{1\mathrm{/}2}=2\backslash operatorname\{cosec\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{1/2\}=2$.

Le résultat exact est 2, sans unité. Le contrôle consiste à multiplier la cosécante obtenue par le sinus de l’angle : 2 × 1/2 = 1. Le point correspondant appartient bien à la branche positive du graphe.

Dans un calcul trigonométrique, la cosécante remplace avantageusement l’écriture 1/sin(x) lorsque cette quantité revient plusieurs fois. Si le sinus apparaît seulement une fois, conserver la fraction peut rendre la condition sin(x) ≠ 0 plus visible.

Pour lire un graphe, les multiples de π signalent immédiatement les coupures et les asymptotes. Entre deux multiples consécutifs, le signe de la cosécante est celui du sinus.

En intégration, certaines transformations font apparaître la cosécante avec la cotangente. Avant de les employer, il faut repérer les zéros du sinus et travailler sur un intervalle qui ne les traverse pas.

Cosécante et arc sinus. La cosécante prend l’inverse de la valeur du sinus, tandis que l’arc sinus retrouve un angle à partir d’une valeur comprise entre −1 et 1. Pour sin(π/6) = 1/2, la cosécante vaut 2, alors que l’arc sinus de 1/2 vaut π/6.

Cosécante et sécante. La cosécante est l’inverse du sinus ; la sécante est l’inverse du cosinus. À l’angle π/6, la cosécante vaut 2, tandis que la sécante vaut 2/√3. Le dénominateur suffit donc à les distinguer.

Aux multiples de π. Pour tout entier k, l’angle x = kπ donne sin(x) = 0. La cosécante n’y vaut ni zéro ni l’infini : elle n’est pas définie. Il faut exclure ces angles du domaine.

Près d’une asymptote. La valeur absolue devient arbitrairement grande, mais le signe dépend du côté d’approche. Par exemple, près de zéro, la cosécante tend vers des valeurs négatives à gauche et positives à droite.

Entre −1 et 1. Aucune valeur réelle de la cosécante n’appartient à l’intervalle ouvert ]−1, 1[. Si un calcul donne 1/2, il faut revoir l’inversion : 1/2 peut être un sinus, mais pas une cosécante réelle.

Calcul numérique. Une approximation de π peut produire un sinus minuscule au lieu de zéro et donc un résultat énorme. Il faut tester d’abord si l’angle est un multiple de π, plutôt que d’interpréter ce résultat comme une valeur finie fiable.

L’article Nombres complexes et trigonométrie prolonge l’étude des fonctions trigonométriques en montrant leurs liens avec la représentation complexe.