Sécante (fonction)

Prenez un angle de π/3 : son cosinus vaut 1/2. La fonction sécante retourne le nombre qui, multiplié par 1/2, redonne 1. Ici, elle vaut donc 2.

Ce geste revient à diviser 1 par le cosinus. Quand le cosinus vaut zéro, cette division est impossible : la sécante n’a alors aucune valeur.

La fonction sécante associe à un angle réel, noté x, l’inverse multiplicatif de son cosinus. Elle se note sec. Sa définition est $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}\backslash sec(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash cos(x)\}$. Elle s’applique exactement lorsque le cosinus de x est non nul.

Les valeurs exclues sont les angles x de la forme $x=\frac{\pi }{2}+k\pi x=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+k\backslash pi$, où k désigne un entier. La fonction est paire : sec(−x) = sec(x). Elle se répète tous les 2π. Ses valeurs possibles sont les réels y tels que |y| ≥ 1 ; elle ne prend donc aucune valeur strictement comprise entre −1 et 1.

La dérivée de la sécante au point x est $\sec (x)\tan (x)\backslash sec(x)\backslash tan(x)$, dès que x appartient à son domaine. La sécante hyperbolique, notée sech, est une autre fonction : elle est l’inverse multiplicatif du cosinus hyperbolique. Les deux fonctions interviennent notamment en trigonométrie et dans des calculs d’intégration.

La fonction repose sur quatre éléments liés. L’entrée est un angle réel x. Le cosinus transforme cet angle en un nombre. L’opération réciproque prend ensuite l’inverse multiplicatif de ce nombre. Enfin, le domaine retire toutes les entrées pour lesquelles le cosinus vaut zéro, car le quotient 1/cos(x) n’existe pas alors.

Ces relations suffisent à calculer chaque valeur et à construire le graphe par branches. Lorsque cos(x) est positif, sec(x) est au moins égale à 1 ; lorsqu’il est négatif, sec(x) est au plus égale à −1. Une construction au cercle unité rend visible le cas x = π/3 : la longueur associée au cosinus vaut 1/2, tandis que la longueur sécante vaut 2.

On cherche la valeur de la sécante et celle de sa dérivée pour l’angle x = π/3. Les données sont cos(π/3) = 1/2 et tan(π/3) = √3, où tan désigne la fonction tangente.

1. Le cosinus vaut 1/2, donc il n’est pas nul : la sécante est bien définie.
2. On prend l’inverse multiplicatif : sec(π/3) = 1 ÷ (1/2) = 2.
3. Pour la dérivée, on applique sec(x)tan(x) au même angle.
4. On obtient sec(π/3)tan(π/3) = 2 × √3 = 2√3.

Le résultat est donc sec(π/3) = 2, et la dérivée vaut 2√3 en ce point. Le contrôle est direct : 2 × cos(π/3) = 2 × 1/2 = 1, ce qui vérifie que 2 est bien l’inverse multiplicatif du cosinus.

Pour calculer une sécante, entrez d’abord l’angle dans le cosinus, puis prenez l’inverse du résultat. Si une calculatrice propose directement la touche sec, elle donne la même valeur ; sinon, utilisez 1 ÷ cos(x).

Avant tout calcul, regardez si le cosinus est nul. Dans ce cas, la division par zéro bloque le calcul et il faut déclarer la sécante non définie, sans chercher de valeur approchée.

Pour dériver une expression sec(x), la formule sec(x)tan(x) est la voie directe. Revenir à 1/cos(x) reste utile si l’on veut contrôler le résultat par les règles de dérivation d’un quotient.

Une droite sécante. En géométrie, une sécante est une droite qui coupe une figure. Ici, sec(x) est une fonction trigonométrique : le cas x = π/3 produit le nombre 2, et non une droite.

La fonction réciproque du cosinus. Le mot « réciproque » signifie ici inverse multiplicatif : sec(x)cos(x) = 1. La fonction qui renvoie un angle à partir d’un cosinus est arccos, et non sec.

La sécante hyperbolique. La notation sech désigne l’inverse du cosinus hyperbolique. Pour identifier la bonne fonction, vérifiez donc si le dénominateur est cos(x) ou le cosinus hyperbolique.

Cosinus nul. Pour x = π/2 + kπ, avec k entier, sec(x) n’est pas définie. Le symptôme est une division par zéro ; il faut exclure ces angles du domaine.

Cosinus très proche de zéro. La valeur absolue de sec(x) devient alors très grande. Un arrondi prématuré peut transformer un petit cosinus non nul en zéro ; il faut conserver davantage de chiffres avant de prendre l’inverse.

Valeur impossible. Une sécante ne peut pas appartenir à l’intervalle ouvert ]−1, 1[. Si un calcul donne par exemple 1/2, le contrôle |sec(x)| ≥ 1 révèle une erreur.

Signe oublié. Prendre l’inverse ne rend pas le résultat positif. Lorsque cos(x) est négatif, sec(x) l’est aussi ; il faut conserver le signe du cosinus.

fonction trigonométrique — Pour situer la sécante parmi les fonctions qui associent des nombres aux angles.

cosinus d'un angle — Pour approfondir la quantité dont la sécante prend l’inverse multiplicatif.