GéométrieFormule · Glossaire
formule de duplication
Les formules de duplication sont des identités trigonométriques qui expriment le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle double 2x à partir de l'angle x. Elles donnent sin(2x) = 2 sin x cos x ; cos(2x) = cos²x − sin²x ; tan(2x) = 2 tan x / (1 − tan²x), lorsque tan x est définie et que tan x ≠ ±1. L'exemple à 30° montre comment les appliquer ; les sections suivantes présentent les formes équivalentes du cosinus et précisent les conditions de la tangente.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier concrètement un angle x à son double 2x sur le cercle trigonométrique.
- Retrouver les formules du sinus, du cosinus et de la tangente de l'angle double.
- Choisir entre les trois formes équivalentes de cos(2x).
- Calculer sin(60°), cos(60°) et tan(60°) à partir des valeurs en 30°.
- Repérer les angles qui rendent la formule de la tangente inapplicable.
En clair
Sur un cercle trigonométrique, partons d'un rayon qui forme un angle de 30° avec l'axe horizontal. Dupliquer l'angle signifie le prendre deux fois : le nouveau rayon forme 60°. Le schéma matérialise ce passage de x = 30° à 2x = 60°.
Les formules de duplication évitent de repartir de zéro pour calculer le sinus, le cosinus ou la tangente de 60°. Elles transforment les valeurs connues à 30° en valeurs de l'angle double. Le même principe vaut pour tout angle où les fonctions utilisées sont définies.
Définition
Une formule de duplication est une identité trigonométrique obtenue en appliquant une formule d'addition à deux angles égaux. Si x désigne un angle réel, le sinus et le cosinus de l'angle double 2x vérifient : et . Ces égalités sont valables pour tout réel x.
En utilisant l'identité sin²x + cos²x = 1, la formule du cosinus prend aussi les formes et . La première élimine le sinus ; la seconde élimine le cosinus.
Lorsque les tangentes de x et de 2x sont définies, la troisième identité est . Son membre de droite exige que tan x existe et soit différente de 1 et de −1. Ces restrictions correspondent à cos x ≠ 0 et cos(2x) ≠ 0.
Le principe
Pour tout angle réel x, le sinus et le cosinus de l'angle double se calculent par :
Si tan x est définie et tan x ≠ ±1, alors . On choisit la forme du cosinus qui remplace précisément la fonction à éliminer dans le calcul.
Quand l'utiliser
Les identités du sinus et du cosinus s'appliquent à tout angle réel x, exprimé en degrés ou en radians, à condition de garder la même unité dans tout le calcul. Elles donnent les valeurs en 2x à partir des valeurs en x.
Pour la tangente, deux vérifications sont nécessaires : cos x doit être non nul afin que tan x existe, et 1 − tan²x doit être non nul. Autrement dit, tan x ne peut valoir ni 1 ni −1, car tan(2x) serait alors indéfinie.
Par exemple, x = 45° donne tan x = 1 et annule le dénominateur : la formule de la tangente ne fournit aucune valeur, conformément au fait que tan(90°) n'existe pas. Il faut alors employer les formules du sinus et du cosinus, qui restent valables.
Un exemple, pas à pas
Calculons les trois fonctions trigonométriques de l'angle double à partir de x = 30°. Les données sont sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2 et tan(30°) = 1/√3. L'angle double est 2x = 60°.
1. Pour le sinus, remplaçons les valeurs connues : .
2. Pour le cosinus, la forme 2cos²x − 1 donne .
3. Pour la tangente, tan(30°) = 1/√3 n'est ni 1 ni −1. Ainsi, .
4. Contrôlons la cohérence : sin(60°)/cos(60°) = (√3/2)/(1/2) = √3, ce qui retrouve la tangente calculée. De plus, (√3/2)² + (1/2)² = 1, comme l'exige l'identité fondamentale.
En pratique
Pour calculer une valeur en 2x à partir de valeurs connues en x, choisissez directement la formule de la fonction recherchée. Pour x = 30°, cette voie donne les valeurs en 60° sans nouvelle construction géométrique.
Pour transformer une puissance, isolez-la dans une forme du cosinus double : cos²x = [1 + cos(2x)]/2 et sin²x = [1 − cos(2x)]/2. En calcul intégral, ces formes remplacent un carré trigonométrique par une somme plus simple à intégrer.
Pour résoudre une équation contenant sin(2x) ou cos(2x), la duplication ramène l'expression aux fonctions de x. Si cette substitution alourdit le calcul ou introduit une division interdite, conservez plutôt l'angle double et résolvez l'équation trigonométrique directement.
À ne pas confondre
Formule de duplication et formule d'addition. L'addition traite deux angles éventuellement différents, x et y ; la duplication est son cas particulier y = x. Ainsi, sin(x + y) relève de l'addition, tandis que sin(2x) relève de la duplication.
Angle double et angle moitié. La duplication calcule une fonction en 2x à partir de x. Une formule d'angle moitié part au contraire d'une valeur en x pour atteindre x/2 et peut imposer un choix de signe. Passer de 30° à 60° est une duplication ; passer de 60° à 30° est une bisection.
Duplication et linéarisation. La duplication exprime une fonction de 2x à l'aide de fonctions de x. La linéarisation effectue souvent le mouvement inverse pour supprimer un produit ou une puissance : cos²x devient [1 + cos(2x)]/2. Le calcul demandé permet de trancher entre les deux usages.
Limites et pièges
Tangente non définie en x. Pour x = 90° + 180°k, où k est un entier, cos x = 0 et tan x n'existe pas. Le membre droit de la formule de duplication n'a donc aucun sens ; utilisez plutôt les identités du sinus et du cosinus.
Dénominateur nul. Pour x = 45° + 90°k, tan x vaut 1 ou −1 et 1 − tan²x = 0. Ce blocage signale exactement que 2x = 90° + 180°k, angle auquel la tangente n'est pas définie. Il ne faut ni simplifier ni attribuer une valeur infinie à l'identité.
Mode du calculateur. Les identités sont valables en degrés comme en radians, mais 30 et π/6 représentent le même angle seulement dans leurs unités respectives. Un résultat incohérent avec sin²x + cos²x = 1 doit faire vérifier le mode choisi avant de reprendre le calcul.
Signe dans les formes du cosinus. Les égalités correctes sont 2cos²x − 1 et 1 − 2sin²x. À x = 30°, elles donnent toutes deux 1/2 ; obtenir −1/2 révèle une inversion des termes ou du signe. Comparez alors avec cos²x − sin²x.
Pour aller plus loin
cercle trigonométrique — Relier les valeurs du sinus et du cosinus aux coordonnées des points associés aux angles x et 2x.
Nombres complexes et trigonométrie — Prolonger les identités trigonométriques par une écriture complexe qui éclaire les relations entre angles et puissances.
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