GéométrieNotion · Glossaire
Angles complémentaires
Deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à 90 degrés, soit pi/2 radians. Par exemple, un angle de 30 degrés et un angle de 60 degrés sont complémentaires. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont toujours complémentaires. Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus sont reliées par la complémentarité : sin(90° - x) = cos(x) et cos(90° - x) = sin(x). Cette propriété explique d'ailleurs l'étymologie du mot cosinus, qui signifie sinus du complément.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître deux angles complémentaires grâce à leur somme de 90°.
- Calculer l’angle aigu manquant dans un triangle rectangle.
- Relier le sinus d’un angle au cosinus de son complément.
- Distinguer angles complémentaires, supplémentaires et adjacents.
En clair
Imaginez le coin parfaitement carré d’une feuille. Il forme un angle de 90°. Si un trait partage ce coin en deux angles de 30° et 60°, les deux morceaux reconstituent exactement l’angle droit. Ils sont complémentaires.
Le complément d’un angle est donc la mesure qui lui manque pour atteindre 90°. Cette relation porte sur la somme des mesures : les deux angles n’ont pas besoin de se toucher ni d’être dessinés au même endroit.
Définition
Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut un angle droit. Si la lettre grecque α désigne la mesure du premier angle et la lettre grecque β celle du second, la condition s’écrit : . Les mesures doivent être exprimées dans la même unité avant l’addition.
En degrés, un angle dont la mesure α est comprise entre 0° et 90° a pour complément 90° − α. En radians, pour α compris entre 0 et π/2, ce complément vaut π/2 − α. Dans ces intervalles, le complément est unique. Un angle de 30° a ainsi pour complément un angle de 60°.
Dans tout triangle rectangle, la somme des trois angles vaut 180° et l’angle droit en occupe 90°. Les deux angles aigus se partagent donc les 90° restants. La complémentarité relie aussi sinus et cosinus : pour un angle x exprimé en degrés, et . Le mot « cosinus » vient de l’idée de sinus du complément.
Un exemple, pas à pas
Considérons un triangle rectangle dont l’un des deux angles aigus mesure 30°. Les données sont les suivantes : le triangle possède un angle droit de 90° ; un angle aigu mesure 30° ; la somme des angles d’un triangle vaut 180°. Le schéma associé matérialise cette répartition sans modifier les données du calcul.
1. Additionnons les deux angles connus : 90° + 30° = 120°.
2. Soustrayons ce résultat à la somme des angles du triangle : 180° − 120° = 60°.
3. Vérifions la complémentarité des deux angles aigus : 30° + 60° = 90°.
2. Soustrayons ce résultat à la somme des angles du triangle : 180° − 120° = 60°.
3. Vérifions la complémentarité des deux angles aigus : 30° + 60° = 90°.
L’angle aigu inconnu mesure donc 60°. Le contrôle est refaisable de deux façons : les trois angles totalisent bien 30° + 60° + 90° = 180°, et les deux angles aigus totalisent bien 90°.
En pratique
Dans un triangle rectangle, connaître un angle aigu suffit pour obtenir l’autre : on retranche sa mesure à 90°. Si le triangle ne possède pas d’angle droit, il faut plutôt utiliser la somme totale de 180° avec les deux angles connus.
Pour contrôler deux mesures, on les additionne dans une unité commune. Une somme de 90° signale des angles complémentaires ; une somme différente impose de chercher une autre relation au lieu de forcer cette qualification.
En trigonométrie, remplacer le sinus d’un angle par le cosinus de son complément peut simplifier une lecture ou un calcul. Avec 30° et 60°, sin(30°) et cos(60°) ont ainsi la même valeur. En radians, on emploie π/2 − x plutôt que 90° − x.
À ne pas confondre
Angles supplémentaires. Leur somme vaut 180°, et non 90°. Ainsi, 30° et 150° sont supplémentaires, tandis que 30° et 60° sont complémentaires. Le total obtenu suffit à trancher.
Angles adjacents. Ils partagent un sommet et un côté, alors que la complémentarité dépend seulement des mesures. Deux angles de 30° et 60° dessinés séparément sont complémentaires sans être adjacents ; deux angles adjacents de 40° et 60° ne sont pas complémentaires.
Limites et pièges
Unités mêlées. L’égalité 90° = π/2 autorise deux écritures, mais pas une addition directe entre degrés et radians. Si une mesure vaut 30° et l’autre π/3, il faut d’abord convertir : π/3 vaut 60°, puis 30° + 60° = 90°.
Cas charnières. Dans l’intervalle de 0° à 90°, 0° et 90° satisfont formellement la somme exigée. Cependant, ils ne peuvent pas être les deux angles aigus d’un triangle rectangle : un angle aigu est strictement compris entre 0° et 90°.
Formule écrite dans la mauvaise unité. L’expression sin(90° − x) suppose que x est mesuré en degrés. Si x est mesuré en radians, il faut écrire sin(π/2 − x) = cos(x). Le symbole d’unité permet de repérer le bon complément.
Pour aller plus loin
Angle droit — Pour reconnaître le repère de 90° qui fixe la somme de deux angles complémentaires.
Angle aigu — Pour préciser pourquoi les deux angles non droits d’un triangle rectangle restent entre 0° et 90°.
Angles supplémentaires — Pour comparer le critère de somme à 180° avec celui de la complémentarité à 90°.
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