GéométrieObjet géométrique · Glossaire
Angle aigu
Un angle aigu est un angle dont la mesure est strictement comprise entre 0 et 90 degrés, soit entre 0 et π/2 radians. Dans un triangle, un angle est aigu si les deux demi-droites qui le forment délimitent un secteur angulaire inférieur à un angle droit. Tout triangle non dégénéré possède au moins deux angles aigus. Un triangle dont les trois angles sont aigus est appelé un triangle acutangle. Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus prennent des valeurs strictement positives pour les angles aigus.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l’intervalle strict qui caractérise un angle aigu en degrés et en radians.
- Classer pas à pas un angle de 35° par comparaison avec 0° et 90°.
- Distinguer un angle aigu d’un angle droit et d’un triangle acutangle.
- Éviter les erreurs aux bornes et les mélanges d’unités.
En clair
Imaginez deux aiguilles qui partent du même point. Si leur ouverture est positive et strictement inférieure à celle d’un angle droit de 90°, elles forment un angle aigu. Une ouverture de 35° en est un exemple ; une ouverture de 90° n’en est pas un.
Le mot aigu décrit donc une ouverture strictement comprise entre la position fermée, à 0°, et l’angle droit, à 90°.
Définition
Un angle est aigu lorsque sa mesure est strictement supérieure à 0° et strictement inférieure à 90°. Si la lettre grecque alpha munie de l’indice « deg », notée , désigne sa mesure en degrés, le critère s’écrit . En notant sa mesure en radians, le même intervalle s’écrit . Les deux bornes sont exclues.
Dans un triangle non dégénéré, au moins deux des trois angles sont aigus. Lorsque les trois le sont, le triangle est dit acutangle. Les deux demi-droites issues d’un même sommet délimitent alors, pour chaque angle concerné, un secteur plus petit qu’un angle droit.
Pour toute mesure aiguë α exprimée en radians, le sinus et le cosinus sont strictement positifs : . Cette propriété vaut sur l’intervalle ouvert .
De quoi c'est fait
Un angle aigu réunit quatre éléments. Le sommet est le point commun. Deux demi-droites partent de ce sommet et forment les côtés de l’angle. Le secteur angulaire est l’ouverture choisie entre elles. Enfin, la mesure chiffre cette ouverture en degrés ou en radians. Deux demi-droites délimitent deux secteurs ; pour l’angle aigu étudié, on retient le secteur mineur, ici l’ouverture de 35°.
Dans la construction choisie, une demi-droite sert de départ et l’autre est tournée de 35° autour du sommet. Le dessin matérialise aussi l’ouverture de 90° qui sert de repère. La longueur, l’épaisseur ou la couleur des traits ne change pas la nature de l’angle ; seule leur ouverture compte. Ces données suffisent à construire l’angle et à vérifier qu’il est aigu.
Un exemple, pas à pas
On veut classer l’angle formé par deux demi-droites issues du sommet O. Les données sont les suivantes : la première demi-droite sert d’origine, la seconde est tournée de 35°, et l’angle droit de référence mesure 90°.
1. On relève la mesure de l’ouverture : 35°.
2. On compare cette mesure à la borne basse : 35° est strictement supérieur à 0°.
3. On la compare à la borne haute : 35° est strictement inférieur à 90°.
4. On applique le critère : .
2. On compare cette mesure à la borne basse : 35° est strictement supérieur à 0°.
3. On la compare à la borne haute : 35° est strictement inférieur à 90°.
4. On applique le critère : .
L’angle de 35° est donc aigu. Le contrôle est refaisable sans calcul supplémentaire : son ouverture est positive et reste plus petite que celle de l’angle droit de 90°.
En pratique
Pour classer un angle mesuré, comparez sa valeur aux bornes. Si elle est strictement entre 0° et 90°, retenez « aigu » ; si elle est égale à 90°, retenez « droit » ; si elle est strictement entre 90° et 180°, retenez « obtus ».
Dans un triangle, examinez les trois mesures. Trois angles aigus conduisent au triangle acutangle. Si l’un des angles n’est pas aigu, cette appellation ne convient pas, même si les deux autres angles le sont.
En trigonométrie, la mesure fournit un contrôle de signe. Pour un angle aigu, un sinus ou un cosinus nul ou négatif signale qu’il faut revoir la mesure choisie ou le calcul.
À ne pas confondre
Angle aigu et angle droit. Le critère est la borne de 90° : 35° est aigu, tandis que 90° est droit. Dire qu’une ouverture est seulement « petite » ne suffit pas ; sa mesure tranche.
Angle aigu et triangle acutangle. Le premier est une ouverture ; le second est un triangle dont les trois angles sont aigus. Un triangle peut donc contenir deux angles aigus sans être acutangle.
Limites et pièges
Les bornes ne sont jamais incluses. Une mesure de 0° n’est pas aiguë, et une mesure de 90° ne l’est pas davantage. Il faut tester deux inégalités strictes, pas seulement vérifier que la mesure ne dépasse pas 90°.
Une valeur très proche de la borne reste classée par sa mesure. Ainsi, 89,9° est encore aigu, car 89,9 est inférieur à 90. L’apparence du dessin ne remplace pas la comparaison numérique.
Degrés et radians doivent rester cohérents. La borne 90° correspond à π/2 radians. Avant de comparer une mesure, utilisez la borne exprimée dans la même unité.
Pour aller plus loin
Angle droit — Situez précisément la borne de 90° qui exclut un angle de la catégorie des angles aigus.
triangle acutangle — Prolongez le critère vers les triangles dont chacun des trois angles est aigu.
radian — Reliez l’intervalle de 0° à 90° à son écriture de 0 à π/2 radians.
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