GéométrieObjet géométrique · Glossaire
Angle saillant
Un angle saillant est un angle dont la mesure est strictement comprise entre 0 et 180 degrés. Dans un polygone convexe, tous les angles intérieurs sont saillants. Un angle intérieur saillant s’ouvre vers l’intérieur de la figure ; c’est sa mesure qui le distingue d’un angle rentrant. La notion d’angle saillant est souvent utilisée en géométrie des polygones pour caractériser la convexité : pour un polygone simple dont les sommets consécutifs ne sont pas alignés, le polygone est convexe si et seulement si tous ses angles intérieurs sont saillants.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer exactement un angle saillant entre 0° et 180°.
- Reconnaître les angles saillants d’un rectangle par un contrôle reproductible.
- Distinguer un angle saillant d’un angle rentrant, plat ou aigu.
- Employer le critère des angles pour un polygone simple sans sommets consécutifs alignés.
En clair
Imaginez le coin d’une feuille rectangulaire : ses deux côtés forment une ouverture de 90°. Cette ouverture est saillante, car elle est plus petite qu’un angle plat de 180° et plus grande que 0°.
Dans un polygone convexe, chaque angle intérieur est non rentrant et strictement inférieur à 180°, sans être nécessairement droit. La mesure de l’angle, et non la taille ou l’orientation du dessin, décide s’il est saillant.
Définition
Un angle est saillant lorsque sa mesure, notée α et exprimée en degrés, vérifie le critère suivant : . Les deux valeurs limites sont exclues. Cette propriété s’applique à l’ouverture choisie entre deux demi-droites et, en géométrie des polygones, à l’angle intérieur choisi au sommet.
Dans un polygone convexe sans sommet aligné avec ses deux voisins, chaque angle intérieur est strictement inférieur à 180° et donc saillant. Réciproquement, pour un polygone simple dont les sommets consécutifs ne sont pas alignés, le fait que tous les angles intérieurs soient saillants caractérise la convexité. Ces hypothèses écartent les contours croisés et les angles plats.
Dire qu’un angle « pointe vers l’extérieur » fournit une image utile pour lire un contour, mais la mesure reste le critère décisif. Une rotation, un agrandissement ou un changement de couleur ne modifie pas le caractère saillant.
De quoi c'est fait
Un angle saillant comporte un sommet, point commun aux deux demi-droites, et deux côtés qui délimitent l’ouverture. Une région intérieure indique laquelle des deux ouvertures autour du sommet est mesurée. Enfin, la mesure compare cette ouverture à un tour complet de 360°.
Les côtés doivent partir du même sommet pour former l’angle. Le choix de la région intérieure détermine ensuite la mesure : avec les mêmes côtés, l’autre région peut dépasser 180°. Le sommet, les côtés et la région choisie suffisent à construire l’angle ; la mesure permet de décider s’il est saillant. L’orientation du tracé et sa longueur apparente n’entrent pas dans la définition.
Un exemple, pas à pas
Considérons le rectangle ABCD représenté par la figure. Ses données sont AB = 4 cm, BC = 3 cm et quatre côtés se rencontrant à angle droit. On examine l’angle intérieur au sommet B.
1. Les côtés BA et BC forment l’angle intérieur en B.
2. Comme ces côtés sont perpendiculaires, la mesure de l’angle ABC est 90°.
3. On compare cette mesure aux bornes : 0° < 90° < 180°.
4. L’angle ABC est donc saillant.
2. Comme ces côtés sont perpendiculaires, la mesure de l’angle ABC est 90°.
3. On compare cette mesure aux bornes : 0° < 90° < 180°.
4. L’angle ABC est donc saillant.
Le même contrôle donne 90° aux sommets A, C et D. Les quatre angles intérieurs sont saillants, ce qui concorde avec la convexité du rectangle. Pour refaire le contrôle, une équerre posée à chaque sommet confirme que chaque ouverture intérieure est un angle droit.
En pratique
dans la représentation d’un polygone, on suit le contour et on observe l’ouverture intérieure à chaque sommet. Une ouverture inférieure à 180° indique un angle saillant ; une ouverture supérieure à 180° fait préférer la qualification d’angle rentrant.
Pour contrôler une figure avec précision, on mesure l’angle intérieur au rapporteur. Le simple aspect pointu ne suffit pas : la valeur mesurée doit rester strictement entre 0° et 180°.
Pour tester la convexité d’un polygone simple sans sommets consécutifs alignés, on vérifie tous ses angles intérieurs. Si l’un d’eux est rentrant, le polygone n’est pas convexe ; s’ils sont tous saillants, il est convexe.
À ne pas confondre
Angle rentrant. Il mesure plus de 180° et correspond à un creux du contour, tandis qu’un angle saillant mesure moins de 180°. Une ouverture intérieure de 270° est rentrante, pas saillante.
Angle plat. Sa mesure vaut exactement 180°, alors que les bornes de l’intervalle définissant un angle saillant sont exclues. Deux demi-droites opposées forment donc un angle plat, jamais un angle saillant.
Angle aigu. Il est strictement inférieur à 90°, tandis qu’un angle saillant peut aussi être droit ou obtus. L’angle de 90° du rectangle ABCD est saillant, mais il n’est pas aigu.
Limites et pièges
Bornes exclues. À 0°, les deux côtés se superposent ; à 180°, ils forment un angle plat. Dans les deux cas, l’inégalité stricte échoue : il ne faut pas qualifier l’angle de saillant.
Région mal choisie. Deux mêmes demi-droites délimitent deux régions autour du sommet. Si l’on mesure la région extérieure au lieu de l’intérieur du polygone, le verdict peut s’inverser ; il faut d’abord identifier la région intérieure du contour.
Sommet aligné. Dans un contour convexe comportant trois sommets consécutifs alignés, l’angle central vaut 180° et n’est pas saillant. Le critère « tous les angles sont saillants » caractérise donc un polygone convexe dont les sommets consécutifs ne sont pas alignés.
Contour croisé. Pour un polygone non simple, la notion d’intérieur et le critère par les angles demandent une convention supplémentaire. Il faut d’abord vérifier que le contour ne se coupe pas avant d’utiliser les angles intérieurs pour conclure à la convexité.
Pour aller plus loin
Angle rentrant. Comparez le cas complémentaire qui crée un creux dans le contour d’un polygone.
concept de convexité. Reliez le contrôle local des sommets à la propriété globale du polygone.
Angle plat. Examinez la valeur frontière de 180° qui n’appartient pas aux angles saillants.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres