AnalyseNotion · Glossaire
concept de convexité
Dans un espace vectoriel réel, un ensemble est convexe lorsque, pour deux quelconques de ses points, tout le segment qui les relie appartient encore à l'ensemble. Une fonction réelle définie sur un domaine convexe est convexe lorsque son graphe reste sous chacune de ses cordes : sa valeur en tout point intermédiaire ne dépasse pas l'interpolation des valeurs aux extrémités. Cette structure exclut les creux cachés et rend notamment l'optimisation plus maîtrisable.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un ensemble convexe avec le test du segment.
- Interpréter la convexité d'une fonction avec ses cordes.
- Appliquer le critère de la dérivée seconde lorsqu'il est valable.
- Distinguer convexité, stricte convexité et concavité.
En clair
Imaginez deux points posés dans un disque plein, puis tendez un fil droit entre eux. Le fil reste entièrement dans le disque : cette forme est convexe. Dans un croissant, certains fils traverseraient la partie vide, ce qui révèle une forme non convexe.
Pour une courbe représentant une fonction, le même fil devient une corde. Si chaque corde reste au-dessus de la courbe, la fonction est convexe : son graphe a la forme d'un bol, sans devoir être strictement courbé partout.
Définition
Un ensemble est convexe lorsque le segment reliant n'importe lesquels de ses deux points appartient tout entier à l'ensemble. Si les points sont notés A et B, tout point obtenu en prenant une proportion t de B et la proportion complémentaire de A doit encore appartenir à l'ensemble, pour chaque nombre réel t compris entre 0 et 1.
Une fonction f définie sur un intervalle I est convexe lorsque, pour deux nombres x et y de I et pour tout t entre 0 et 1, elle vérifie :
Géométriquement, le segment joignant deux points du graphe reste au-dessus du graphe ou le touche. L'intervalle I est essentiel : sans domaine convexe, les points intermédiaires ne sont pas nécessairement disponibles.
Si f est continue sur I et deux fois dérivable sur l'intérieur de I, la convexité sur I équivaut à la condition en tout point intérieur. En optique, « convexe » décrit une surface bombée vers l'observateur, notamment celle d'un miroir ou d'une lentille. Pour une courbe ou une surface isolée, les mots convexe et concave dépendent du côté regardé et de la convention retenue.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f qui associe à tout nombre réel x son carré x2. Choisissons x = −1 et y = 2, puis le milieu de ces deux nombres, correspondant à t = 1/2. Les valeurs annoncées sont f(−1) = 1 et f(2) = 4.
1. Le milieu des abscisses vaut (−1 + 2)/2 = 1/2.
2. La valeur de la fonction au milieu vaut f(1/2) = (1/2)2 = 1/4.
3. La hauteur du milieu de la corde vaut (1 + 4)/2 = 5/2.
4. On compare : 1/4 ≤ 5/2. Le point de la courbe est donc sous le milieu de la corde.
2. La valeur de la fonction au milieu vaut f(1/2) = (1/2)2 = 1/4.
3. La hauteur du milieu de la corde vaut (1 + 4)/2 = 5/2.
4. On compare : 1/4 ≤ 5/2. Le point de la courbe est donc sous le milieu de la corde.
Le dessin matérialise ce contrôle pour la corde choisie. Pour vérifier la convexité sur tous les réels, ce seul calcul ne suffit pas ; on utilise f''(x) = 2, qui est positif partout.
En pratique
En géométrie, le test du segment permet de décider si une région est convexe. Dès qu'un segment reliant deux points de la région en sort, on préfère décrire la région comme non convexe ou la décomposer en parties convexes.
Pour étudier une fonction deux fois dérivable, le signe de sa dérivée seconde donne un critère efficace. Si cette dérivée change de signe, on cherche plutôt des intervalles distincts de convexité et de concavité.
En optimisation, une fonction convexe sur un ensemble convexe évite les faux minima locaux : tout minimum local est alors global. Sans ces deux convexités, il faut employer des outils capables d'explorer plusieurs minima possibles.
En optique géométrique, la courbure indique l'effet attendu : un miroir convexe, bombé vers l'observateur, élargit le champ observé, tandis qu'un miroir concave est creux du côté réfléchissant.
À ne pas confondre
Convexe et strictement convexe. Une fonction affine est convexe, car ses cordes coïncident avec son graphe, mais elle n'est pas strictement convexe. La stricte convexité exige une inégalité stricte entre deux points distincts pour 0 < t < 1.
Convexité et concavité d'une fonction. Les cordes d'une fonction convexe sont au-dessus du graphe ; celles d'une fonction concave sont au-dessous. Ainsi, x2 est convexe sur les réels, tandis que −x2 est concave.
Ensemble convexe et fonction convexe. Le premier est une région fermée par segments ; la seconde respecte une inégalité sur ses valeurs. Le disque plein est un ensemble convexe, mais cette expression ne le transforme pas en fonction.
Limites et pièges
Un dessin en forme de bol ne constitue pas une preuve. L'échelle du graphique peut masquer une petite zone concave. Il faut vérifier l'inégalité des cordes ou employer un critère dérivé sous les hypothèses adéquates.
La dérivée seconde n'est pas toujours disponible. La fonction valeur absolue est convexe mais n'est pas dérivable en 0. Le critère par f'' ne s'applique donc pas partout ; la définition par les cordes reste valable.
Une courbe seule n'a pas toujours un côté privilégié. Une même courbure peut paraître convexe d'un côté et concave de l'autre. Il faut préciser l'ensemble délimité, le côté observé ou la convention géométrique.
Un contrôle sur une seule corde ne suffit pas. L'exemple avec x = −1, y = 2 et t = 1/2 vérifie un cas, pas tous les couples ni toutes les proportions. Une preuve générale doit couvrir tout t de 0 à 1.
Pour aller plus loin
La géométrie convexe montre comment la propriété des segments structure l'étude des formes et des problèmes géométriques.
Des utilisations de la dérivée seconde approfondit le critère qui relie son signe à la courbure d'un graphe.
Au-delà de la convexité ouvre sur des cadres où la convexité classique est remplacée par des propriétés plus souples.
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