Épigraphe

Imaginez la courbe d’une fonction tracée sur une feuille. Pour chaque position horizontale, coloriez le point de la courbe et tous les points placés verticalement au-dessus. La région coloriée est l’épigraphe.

Avec la fonction qui associe à un nombre son carré, le point de coordonnées (1, 2) appartient à cette région, car 2 est supérieur à 1². Le point (1, 0,5), situé sous la courbe, n’y appartient pas.

Soit une fonction f définie sur un ensemble D d’un espace vectoriel et à valeurs réelles. Son épigraphe, noté $\mathrm{epi}(f)\backslash operatorname\{epi\}(f)$, est une partie du produit de D par la droite réelle. Il réunit chaque couple formé d’un point x de D et d’un réel t qui majore la valeur de la fonction en ce point :

À chaque point x du domaine, le graphe donne la plus petite hauteur autorisée, tandis que l’épigraphe contient aussi toutes les hauteurs supérieures. Si D est convexe, la fonction f est convexe exactement lorsque son épigraphe est convexe. Cette équivalence transforme une inégalité sur les valeurs de f en une propriété géométrique d’ensemble. Pour une fonction à valeurs réelles étendues, une valeur +∞ ne fournit aucun point de hauteur réelle au-dessus du x correspondant.

On considère la fonction f qui associe à tout réel x son carré. Les données sont x = 1, la valeur f(1) = 1, et deux hauteurs à tester : t = 2 puis t = 0,5.

1. Calculez la hauteur de la courbe à l’abscisse 1 : 1² = 1.
2. Comparez la première hauteur : 2 ≥ 1. Le point (1, 2) appartient donc à l’épigraphe.
3. Comparez la seconde hauteur : 0,5 < 1. Le point (1, 0,5) n’appartient pas à l’épigraphe.
4. Vérifiez le point frontière : (1, 1) appartient à l’épigraphe, car l’égalité est autorisée.

La figure représente la même fonction dans la fenêtre −2 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ t ≤ 4. La zone jaune contient exactement les hauteurs visibles qui sont supérieures ou égales à x². Le contrôle se refait à n’importe quelle abscisse : un point est retenu si sa hauteur atteint ou dépasse celle de la courbe rouge.

Pour tester la convexité, on peut étudier les segments contenus dans l’épigraphe. Cette voie est utile lorsque la région se décrit plus naturellement que la formule de la fonction. Si le calcul direct entre deux valeurs de la fonction est court, l’inégalité de convexité est souvent l’alternative la plus rapide.

En optimisation, minimiser une fonction revient à chercher la plus petite hauteur atteinte dans son épigraphe. Cette lecture géométrique révèle aussi si le minimum existe : il faut qu’un point de la région réalise effectivement cette hauteur, et pas seulement qu’on puisse s’en approcher.

Une contrainte de la forme t ≥ f(x) impose simplement que le couple (x, t) appartienne à l’épigraphe. On préfère cette écriture quand plusieurs contraintes doivent être vues comme des ensembles à intersecter ; on garde la formule initiale quand elle reste plus lisible.

Le graphe. Il contient les couples qui vérifient t = f(x), tandis que l’épigraphe autorise t ≥ f(x). Pour f(x) = x², (1, 1) est sur le graphe, mais (1, 2) est seulement dans l’épigraphe.

L’hypographe. Il rassemble au contraire les couples situés à une hauteur inférieure ou égale à la valeur de la fonction. Ainsi, (1, 0,5) appartient à l’hypographe de la fonction carré, mais pas à son épigraphe.

Un ensemble de sous-niveau. Pour un réel fixé a, il ne conserve que les points x tels que f(x) ≤ a. L’épigraphe conserve des couples (x, t) et laisse varier la hauteur t.

Domaine non convexe. Une fonction définie sur un domaine troué ne possède pas un épigraphe convexe, même si sa formule ressemble à celle d’une fonction convexe. Pour employer l’équivalence avec la convexité, il faut vérifier que le domaine D est lui-même convexe.

Inégalité stricte. L’épigraphe utilise t ≥ f(x), et non t > f(x). Oublier l’égalité retire tout le graphe ; dans l’exemple, (1, 1) serait alors exclu à tort.

Valeurs réelles étendues. Si f(x) = +∞, aucune hauteur réelle t ne satisfait t ≥ f(x). Il faut alors lire cette absence de colonne verticale comme une exclusion du point x du domaine effectif.

Minimum non atteint. La borne inférieure des hauteurs peut exister sans qu’un point de l’épigraphe la réalise. Avant d’annoncer un minimum, il faut donc vérifier que la hauteur limite appartient réellement à l’ensemble.

concept de convexité — Relier la forme de l’épigraphe à la conservation des segments entre deux points.

Fortement convexe (fonction) — Étudier un renforcement de la convexité utile pour caractériser une courbure minimale.