Biconjuguée (fonction)

Imaginez trois points : ceux d'abscisses −1 et 1 sont à la hauteur 1, tandis que celui du milieu est à la hauteur 2. Une courbe convexe placée sous ces points ne peut pas monter jusqu'au point central. Sa valeur au milieu reste au plus égale à 1.

La biconjuguée effectue précisément ce redressement. Elle conserve tout ce qui peut appartenir à une fonction convexe et fermée par le bas, puis abaisse les bosses incompatibles. Si la fonction possède déjà ces qualités, elle ressort inchangée.

Soit f une fonction à valeurs réelles étendues, donc autorisée à prendre la valeur +∞. Dans un espace vectoriel réel de dimension finie, le symbole ⟨x, y⟩ désigne le couplage dual entre un point x et une variable duale y. La conjuguée de Legendre-Fenchel de f est la fonction f^* définie par :

La biconjuguée f^** s'obtient en appliquant une seconde fois la même transformation à f^*. Elle est convexe et semi-continue inférieurement, ce qui signifie que son épigraphe est fermé. On a toujours f^** ≤ f dans ce cadre. Lorsqu'une minorante affine continue existe, f^** est la plus grande fonction convexe et semi-continue inférieurement située sous f.

Une fonction est propre lorsqu'elle ne vaut jamais −∞ et n'est pas partout égale à +∞. Le théorème de Fenchel-Moreau affirme qu'une fonction propre est égale à sa biconjuguée si et seulement si elle est convexe et semi-continue inférieurement. La biconjugaison sert donc à la fois de test et de régularisation convexe fermée.

La construction réunit quatre éléments. La fonction de départ f fournit les valeurs à examiner. Le couplage ⟨x, y⟩ compare chaque point x à une pente duale y. Le supremum retient, pour chaque y, le meilleur écart entre ce couplage et f(x). Cette première optimisation produit f^*; la seconde, où les rôles de x et y s'échangent, produit f^**.

Le choix du couplage détermine donc la conjugaison, et les valeurs de f déterminent les fonctions affines qui peuvent rester sous son graphe. Leur enveloppe supérieure construit f^**. Le dessin du graphe n'est qu'une représentation : ce sont le domaine, les valeurs et la dualité qui définissent l'objet et permettent son calcul.

Considérons une fonction f sur la droite réelle. Elle vaut 1 en −1 et en 1, vaut 2 en 0, et vaut +∞ ailleurs. Le schéma associé montre que le point central dépasse l'enveloppe convexe fermée.

Données.
f(−1) = 1.
f(0) = 2.
f(1) = 1.
Pour tout autre réel x, f(x) = +∞.

Étape 1. Pour une pente réelle y, seuls les trois points où f est finie contribuent au supremum. On obtient :

Étape 2. On conjugue cette nouvelle fonction. Pour un réel x, la biconjuguée est :

Résultat et contrôle. Entre −1 et 1, f^** est le segment horizontal de hauteur 1. En particulier, f^**(0) = 1 ≤ 2 = f(0). Aux extrémités, f^**(−1) = f(−1) et f^**(1) = f(1). La fonction obtenue est convexe, semi-continue inférieurement et ne peut pas être relevée au milieu sans perdre la convexité.

En optimisation convexe, on remplace une fonction irrégulière par f^** lorsqu'on veut la meilleure relaxation convexe fermée située en dessous. Une simple enveloppe convexe suffit seulement si elle est déjà semi-continue inférieurement; sinon, la biconjuguée incorpore aussi la fermeture nécessaire.

Pour vérifier qu'une fonction propre est convexe et semi-continue inférieurement, on peut calculer f^** et comparer les valeurs. L'égalité partout confirme les deux propriétés ensemble. Si l'on cherche seulement la convexité d'une fonction régulière explicite sur un domaine convexe, un critère direct est souvent plus court : en dimension 1, sous l'hypothèse de différentiabilité, sa dérivée doit être non décroissante ; si la fonction est deux fois différentiable, sa Hessienne doit être positive semi-définie.

Dans les problèmes de dualité, f^* encode les meilleures bornes affines associées aux variables duales, puis f^** revient au côté primal. Ce passage est préférable à une inversion ordinaire lorsque l'opération étudiée est une optimisation par supremum et non une composition bijective.

Biconjuguée et conjuguée. La conjuguée f^* dépend de la variable duale et résulte d'une seule transformation. La biconjuguée f^** revient sur l'espace de départ après deux transformations. Dans l'exemple, f^*(y) = |y| − 1, tandis que f^** vaut 1 sur [−1, 1].

Biconjuguée et enveloppe convexe non fermée. Une enveloppe seulement convexe peut manquer de semi-continuité inférieure à la frontière de son domaine. La biconjuguée impose aussi cette fermeture. Les deux coïncident lorsque l'enveloppe convexe est déjà semi-continue inférieurement.

Biconjugaison et fonction réciproque. Écrire deux étoiles ne signifie pas appliquer deux fois une inversion de bijection. Une fonction peut ne pas être injective et posséder néanmoins une biconjuguée. Le critère décisif est la définition par supremum, pas l'équation f⁻¹(f(x)) = x.

L'égalité f^** = f n'est pas automatique. Dans l'exemple, le symptôme est le point central situé au-dessus du segment joignant les extrémités : f(0) = 2 mais f^**(0) = 1. Il faut vérifier simultanément convexité, semi-continuité inférieure et propreté avant d'invoquer Fenchel-Moreau.

Le cadre topologique compte. En dimension infinie, la notion de semi-continuité et le dual utilisé dépendent de la topologie choisie. Une formule écrite avec un produit scalaire peut alors masquer le véritable couplage entre l'espace et son dual continu. Il faut annoncer ces deux espaces et leur topologie.

Une minorante affine peut manquer. Sans fonction affine continue située sous f, la formule f^** peut prendre la valeur −∞ dans une convention élargie. L'expression « plus grande minorante convexe fermée » demande donc les hypothèses usuelles d'existence, ou l'autorisation explicite de cette valeur dégénérée.

La valeur +∞ décrit une contrainte. Elle ne se traite pas comme un très grand nombre fini. Dans l'exemple, +∞ interdit tous les points hors de {−1, 0, 1} pour f, tandis que f^** étend son domaine fini à tout l'intervalle [−1, 1].

La biconjuguée peut aussi se lire à travers l'épigraphe, l'ensemble des points situés au-dessus du graphe. Passer de f à f^** revient, dans le cadre de dimension finie et sous les hypothèses usuelles, à prendre l'enveloppe convexe fermée de cet épigraphe. Cette vision géométrique relie directement convexification et semi-continuité inférieure.

La conjugaison échange également certaines opérations : une somme, une inf-convolution ou un changement linéaire donnent lieu à des identités duales sous des conditions précises. Ces relations expliquent pourquoi la biconjugaison intervient dans les relaxations, les formulations duales et l'étude des fonctions de coût.