Sous-harmonique (fonction)

Prenons la fonction qui associe à un nombre son carré. Autour de 1, à distance 1, elle vaut 0 à gauche et 4 à droite. La moyenne de ces deux valeurs est 2, alors que la valeur centrale est 1.

Cette valeur centrale placée sous la moyenne illustre l’idée sous-harmonique. La fonction peut former un creux à l’intérieur, mais elle ne peut pas y dresser un sommet isolé au-dessus de toutes les valeurs voisines.

Soit un ouvert Ω de l’espace euclidien ℝⁿ et une fonction continue f définie sur Ω. Pour un point x de Ω, on choisit un rayon positif r assez petit pour que la boule fermée de centre x et de rayon r reste dans Ω. La fonction est sous-harmonique lorsque sa valeur au centre ne dépasse jamais sa moyenne sur la sphère correspondante. En notant dσ la mesure de surface et |∂B(x,r)| l’aire de cette sphère, le critère s’écrit :

Si f est deux fois continûment dérivable, cette propriété équivaut à un laplacien positif ou nul : $\mathrm{\Delta }f\ge 0\backslash Delta\; f\backslash geq\; 0$. L’égalité des moyennes caractérise les fonctions harmoniques ; l’inégalité inverse définit les fonctions sur-harmoniques. Dans le cadre continu retenu ici, f est aussi localement intégrable. Sur un domaine borné, une fonction sous-harmonique continue jusqu’au bord ne peut dépasser son maximum au bord. En particulier, un maximum intérieur force la fonction à être constante sur la composante connexe concernée.

La notion réunit cinq éléments. L’ouvert Ω fournit le domaine où l’on peut déplacer de petites sphères. La fonction f attribue une valeur à chaque point. Le centre x fixe la valeur à tester. Le rayon r doit maintenir la boule fermée dans Ω. Enfin, la moyenne de f sur la sphère sert de valeur de comparaison.

Le rayon admissible dépend donc du centre et de sa distance au bord. La moyenne dépend à son tour de la sphère déterminée par x et r. L’inégalité entre f(x) et cette moyenne, vérifiée pour chaque centre et chaque rayon admissible, définit le caractère sous-harmonique.

Le dessin choisi pour représenter le domaine, son échelle et son orientation ne font pas partie de la définition. Les cinq données précédentes suffisent en revanche à former la moyenne et à tester la propriété de sous-moyenne.

Considérons sur ℝ la fonction f qui associe à chaque réel t son carré. Le point testé est x = 1 et le rayon est r = 1. En dimension 1, la sphère de centre 1 et de rayon 1 se réduit aux deux points 0 et 2.

1. La valeur au centre est $f(1)=1^2=1f(1)=1^2=1$.

2. Aux deux points de la sphère, les valeurs sont $f(0)=0f(0)=0$ et $f(2)=4f(2)=4$.

3. Leur moyenne est $\frac{f(0)+f(2)}{2}=\frac{0+4}{2}=2\backslash frac\{f(0)+f(2)\}\{2\}=\backslash frac\{0+4\}\{2\}=2$.

4. On obtient bien $f(1)=1\le 2f(1)=1\backslash leq\; 2$. La figure matérialise cet écart entre la courbe et la moyenne des deux valeurs situées à égale distance.

Ce calcul ponctuel illustre le test sans suffire à lui seul pour tous les centres et rayons. Le contrôle global vient de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=2\ge 0f\text{'}\text{'}(t)=2\backslash geq\; 0$ : la fonction est convexe, donc sous-harmonique sur ℝ.

Pour tester une fonction deux fois continûment dérivable, on calcule son laplacien. Un résultat positif ou nul fait préférer ce critère différentiel au calcul de toutes les moyennes sphériques. Pour f(t) = t², la dérivée seconde vaut constamment 2.

Pour une fonction continue dont les dérivées secondes ne sont pas disponibles, on revient directement aux moyennes locales. On choisit un centre, plusieurs rayons dont les boules restent dans le domaine, puis on compare la valeur centrale aux moyennes obtenues. Ces essais peuvent réfuter la propriété, mais ne la prouvent pas à eux seuls.

Pour borner une fonction sur un domaine borné, le principe du maximum déplace la recherche vers le bord, à condition que la fonction y soit continue. Si cette continuité jusqu’au bord manque, il faut employer une formulation en limite supérieure plutôt que chercher un maximum nécessairement atteint.

Une fonction harmonique est égale à chacune de ses moyennes sphériques, tandis qu’une fonction sous-harmonique peut être strictement plus petite. La fonction t ↦ t² tranche : en 1, sa valeur 1 est strictement inférieure à la moyenne 2 calculée sur {0, 2}.

Une fonction sur-harmonique vérifie l’inégalité opposée : sa valeur centrale est au moins égale à la moyenne sphérique. Ainsi, t ↦ −t² est sur-harmonique, alors que t ↦ t² est sous-harmonique. Une fonction qui possède les deux propriétés est harmonique.

Le rayon n’est pas arbitraire. Il doit être strictement positif et assez petit pour que la boule fermée reste dans l’ouvert. Près du bord, un rayon trop grand fait sortir la sphère du domaine ; la moyenne correspondante ne constitue alors pas un test admissible.

Le principe du maximum exige de préciser le bord. Sur un domaine borné D, la conclusion classique s’applique à une fonction continue sur la fermeture de D et sous-harmonique dans D. Sur l’intervalle ouvert (0, 1), la fonction t ↦ t est sous-harmonique mais n’atteint aucun maximum : il faut parler de supremum ou ajouter la continuité jusqu’au bord.

Le test $\mathrm{\Delta }f\ge 0\backslash Delta\; f\backslash geq\; 0$ suppose que f possède des dérivées secondes continues. Pour une fonction moins régulière, l’absence de laplacien classique n’invalide pas la sous-harmonicité ; il faut utiliser la propriété de sous-moyenne ou une formulation faible adaptée.

Un seul calcul favorable ne prouve pas la propriété. Dans l’exemple, l’inégalité au centre 1 et au rayon 1 sert d’illustration ; la définition demande le contrôle à chaque point et pour tous les rayons admissibles.

La fiche fonction harmonique approfondit le cas d’égalité dans la propriété de moyenne et éclaire pourquoi toute fonction harmonique est aussi sous-harmonique.

La fiche laplacien d’une fonction détaille l’opérateur qui fournit le critère différentiel lorsque la fonction possède des dérivées secondes continues.