Harnack (théorème de)

Imaginez une température stabilisée sur un disque, positive en tout point. Au centre du disque, loin du bord, elle ne peut pas former seule un pic immense à côté d'une zone presque froide. L'inégalité de Harnack chiffre cette solidarité entre les valeurs intérieures.

Le théorème de Harnack suit ensuite une succession de tels équilibres qui augmentent point par point. Sur un domaine d'un seul tenant, deux issues seulement subsistent : toutes les valeurs s'échappent vers l'infini, ou elles se stabilisent vers un nouvel équilibre harmonique. Dans ce second cas, la stabilisation est uniforme dès que l'on reste à distance du bord.

Une fonction harmonique est une fonction deux fois continûment dérivable dont le laplacien est nul. Sur un domaine Ω de ℝ^d, cela s'écrit, pour une fonction u : $\mathrm{\Delta }u=0\backslash Delta\; u=0$. Ces fonctions modélisent notamment des états d'équilibre sans source intérieure.

L'inégalité de Harnack concerne une fonction harmonique positive. Sur toute partie compacte K située à l'intérieur de Ω, ses plus grande et plus petite valeurs sont comparables : ${\sup }_{K}u\le C_K{\inf }_{K}u\backslash sup\_K\; u\backslash leq\; C\_K\backslash inf\_K\; u$, où la constante C_K dépend de la géométrie de K dans Ω, et non de u. Sur deux boules concentriques, elle dépend seulement de la dimension et du rapport des rayons.

Le théorème de Harnack, ou principe de convergence de Harnack, concerne une suite de fonctions harmoniques u_n croissante point par point sur un domaine connexe. Si la suite reste bornée en un seul point, elle converge vers une fonction harmonique, uniformément sur chaque compact. Sinon, elle tend vers +∞ en tout point. L'inégalité fournit le contrôle local qui propage l'une ou l'autre situation dans le domaine.

Soit u une fonction harmonique positive sur la boule B(a,R) de ℝ^d. Si 0 < r < R, alors il existe une constante C, dépendant seulement de d et de r/R, telle que :

Soit maintenant une suite croissante de fonctions harmoniques sur un domaine connexe Ω. Si ses valeurs sont bornées en un point de Ω, alors la suite converge uniformément sur les compacts vers une fonction harmonique. Si elles ne le sont pas, la suite tend vers +∞ partout dans Ω.

Pour l'inégalité, la fonction doit être harmonique et positive sur une région plus grande que le compact étudié. Le compact doit rester strictement à l'intérieur : dans une boule de rayon R, on choisit un rayon r vérifiant 0 < r < R. La constante se dégrade lorsque r s'approche de R.

Pour le théorème de convergence, toutes les fonctions sont harmoniques sur le même domaine, la suite est croissante point par point et le domaine est connexe. La positivité de chaque terme n'est pas nécessaire : les différences u_n − u₁ sont positives ou nulles.

Sur deux disques disjoints, la suite peut valoir n sur l'un et 0 sur l'autre. Elle est harmonique et croissante, mais diverge seulement sur une composante. Le verdict doit alors être appliqué séparément à chaque composante connexe.

Dans le plan, considérons le disque unité B(0,1), son disque intérieur fermé de rayon 1/2 et la fonction u définie par u(x,y) = 2 + x. Elle est harmonique, car ses dérivées secondes sont nulles, et elle reste positive sur le disque unité. La géométrie choisie permet de lire exactement ses valeurs extrêmes intérieures.

1. Sur le disque de rayon 1/2, la coordonnée x varie de −1/2 à 1/2. Ainsi :

2. Le rapport exact vaut donc :En dimension 2, la borne générale C = ((1 + 1/2)/(1 − 1/2))² = 9 convient bien, puisque 5/3 ≤ 9.

3. Pour chaque entier n ≥ 1, posons $u_n=(1-\frac{1}{n+1})uu\_n=\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{n+1\}\backslash right)u$. Les coefficients augmentent vers 1, donc la suite est croissante et converge vers u.

4. Au centre, u_n(0,0) = 2n/(n + 1) reste inférieur à 2 : le cas fini du théorème s'applique. Un contrôle direct donne |u − u_n| ≤ 3/(n + 1) sur tout le disque, ce qui confirme même la convergence uniforme sur ce domaine.

Pour une température ou un potentiel positif à l'équilibre, l'inégalité transforme une borne intérieure connue en contrôle de toute une zone compacte. Si la fonction change de signe, ce rapport n'est plus l'outil adapté ; on revient alors au principe du maximum ou à une estimation compatible avec le problème.

Pour des approximations harmoniques qui augmentent, il suffit de rechercher une borne en un point. Une borne fournit une limite harmonique locale ; son absence entraîne la divergence sur toute la composante connexe. Ce test évite d'étudier séparément chaque point.

Dans une preuve d'existence, la convergence uniforme sur les compacts conserve l'harmonicité de la limite. Si les approximations ne sont pas ordonnées, le théorème de Harnack ne tranche pas : il faut établir un autre mécanisme de compacité ou de convergence.

Inégalité et théorème de Harnack. L'inégalité compare les valeurs d'une seule fonction harmonique positive sur une zone intérieure. Le théorème décide du comportement limite d'une suite croissante. Pour u(x,y) = 2 + x, le rapport 5/3 relève de l'inégalité ; la suite u_n relève du théorème.

Principe du maximum et inégalité de Harnack. Le principe du maximum situe les extrema non constants au bord. L'inégalité de Harnack donne, elle, une comparaison quantitative entre valeurs positives à l'intérieur. Sur le disque de rayon 1/2, calculer 3/2 et 5/2 teste la seconde propriété.

Le bord n'est pas inclus dans le contrôle uniforme. Dans une boule, le seuil r = R est exclu. Lorsque r tend vers R, la constante de Harnack peut devenir arbitrairement grande. Il faut choisir un compact strictement intérieur ou ajouter des données au bord.

Le signe compte pour l'inégalité. La fonction u(x,y) = x est harmonique sur le disque unité, mais prend les deux signes ; le quotient maximum/minimum n'exprime alors aucun contrôle positif. Il faut employer une estimation conçue pour les fonctions signées.

La connexité porte le verdict global. Sur un domaine disjoint, une suite peut tendre vers +∞ sur une composante et rester finie sur une autre. Il faut appliquer le théorème composante par composante.

La monotonie ne se remplace pas par une simple bornitude. La suite de fonctions constantes u_n = (−1)ⁿ est harmonique et bornée, mais ne converge pas. Sans croissance point par point, il faut une autre hypothèse de convergence ou extraire une sous-suite.

La fiche fonction harmonique précise l'équation de Laplace et les propriétés d'équilibre sur lesquelles reposent les deux résultats de Harnack.

La fiche Harnack (inégalité de) approfondit la comparaison quantitative des valeurs positives qui alimente le principe de convergence.