fonction harmonique

Imaginez une fine plaque dont le bord est maintenu à différentes températures. À l’équilibre, sans source de chaleur à l’intérieur, la température en chaque point ne forme ni pic ni creux isolé. Elle s’accorde avec les valeurs qui l’entourent.

Une fonction harmonique décrit ce type d’équilibre idéal. Sa courbure dans une direction compense exactement sa courbure dans les autres. Dans un problème de Dirichlet bien posé, sous les hypothèses appropriées sur le domaine et les valeurs au bord, celles-ci gouvernent l’intérieur du domaine.

Soit U un domaine ouvert de ℝⁿ et f une fonction réelle définie sur U. La fonction f est harmonique lorsque toutes ses dérivées partielles d’ordre deux sont continues et que leur somme, appelée laplacien de f et notée Δf, est nulle en chaque point de U. En dimension deux, les coordonnées sont notées x et y.

Dans le plan complexe, si une fonction de la variable complexe z est holomorphe, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont deux fonctions harmoniques des coordonnées x et y. La fonction complexe elle-même n’est donc pas une fonction réelle harmonique au sens de la définition précédente : ce sont ses deux composantes qui le sont. Réciproquement, sur un ouvert simplement connexe, une fonction harmonique réelle admet une conjuguée harmonique et devient la partie réelle d’une fonction holomorphe. Enfin, sur un domaine connexe, une fonction harmonique non constante ne possède aucun maximum ni minimum local intérieur. Si elle s’étend continûment à l’adhérence compacte d’un domaine borné, ses valeurs extrêmes y sont atteintes et se trouvent au bord.

Une fonction harmonique réunit cinq éléments. Le domaine ouvert U fournit les points où l’on peut dériver dans toutes les directions. La fonction réelle f associe une valeur à chacun de ces points. Les coordonnées, par exemple x et y dans le plan, indiquent les directions de variation.

La régularité de classe C² garantit que les dérivées partielles secondes existent et sont continues. Le laplacien additionne ces courbures directionnelles. La condition Δf = 0 impose leur compensation point par point : une courbure positive selon x doit être équilibrée par une courbure négative selon y, ou par les autres directions en dimension supérieure.

Le domaine et la régularité rendent donc le laplacien calculable ; le laplacien nul donne à la fonction son caractère harmonique. Le dessin du graphe, son échelle ou ses couleurs peuvent aider à lire f, mais ne participent pas à sa définition.

Sur le disque unité du plan, les coordonnées x et y vérifient x² + y² < 1. Considérons la fonction f définie par f(x, y) = x² − y². Les seules données nécessaires sont cette formule et ce domaine.

1. En dérivant deux fois par rapport à x, on obtient ∂²f/∂x² = 2.

2. En dérivant deux fois par rapport à y, on obtient ∂²f/∂y² = −2.

3. Le laplacien est donc nul en tout point : $\mathrm{\Delta }f=2+(-2)=0\backslash Delta\; f=2+(-2)=0$. La fonction f est harmonique.

4. Un second contrôle vient de l’analyse complexe. Pour z = x + iy, le carré z² a pour partie réelle x² − y². La fonction f est bien la partie réelle de la fonction holomorphe z ↦ z².

Sur le cercle frontière, f vaut 1 aux points (−1, 0) et (1, 0), puis −1 aux points (0, −1) et (0, 1). Dans le disque ouvert, aucune de ces valeurs extrêmes n’est atteinte. Les diagonales y = x et y = −x donnent f = 0 et rendent visible l’équilibre entre les deux courbures.

En physique mathématique, une fonction harmonique modélise un état d’équilibre sans source intérieure, par exemple une température stationnaire dans un matériau homogène. Si une source agit dans le domaine, l’équation de Poisson, dont le second membre n’est pas nul, remplace l’équation de Laplace.

En théorie du potentiel, le problème de Dirichlet consiste à déterminer un potentiel à l’intérieur à partir des valeurs fixées au bord ; sous les hypothèses usuelles, il admet une solution unique. Le principe du maximum fournit alors un contrôle immédiat : une valeur intérieure dépassant toutes les valeurs du bord signale une erreur de modèle ou de calcul.

En analyse complexe, calculer les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe produit deux fonctions harmoniques. Inversement, chercher une conjuguée harmonique sur un domaine simplement connexe permet de reconstruire une fonction holomorphe à partir d’une fonction harmonique.

Fonction harmonique et fonction holomorphe. Une fonction harmonique est ici réelle et dépend des coordonnées du plan ; une fonction holomorphe est complexe et dérivable au sens complexe. La fonction réelle x² − y² est harmonique, mais c’est z ↦ z², dont elle est la partie réelle, qui est holomorphe.

Équation de Laplace et équation de Poisson. L’équation de Poisson s’écrit Δf = g, avec un second membre g qui peut être nul : on retrouve alors l’équation de Laplace Δf = 0. Une source distribuée peut aussi conduire à un second membre au sens des distributions, plutôt qu’à une fonction ordinaire.

Laplacien nul et dérivées secondes nulles. Les dérivées secondes ne doivent pas s’annuler séparément. Pour f(x, y) = x² − y², elles valent 2 et −2 : c’est leur somme qui est nulle.

Vérifier quelques points ne suffit pas. L’égalité Δf = 0 doit être vraie en chaque point d’un ouvert. Un calcul sur un axe ou sur un échantillon fini ne prouve pas que la fonction est harmonique ; il faut calculer le laplacien sur tout le domaine considéré.

La topologie du domaine compte. Une fonction harmonique possède localement une conjuguée harmonique, mais l’assembler globalement exige notamment la simple connexité. Sur le plan privé de l’origine, la fonction log√(x² + y²) est harmonique, mais elle n’est pas globalement la partie réelle d’un logarithme holomorphe monovalué.

Le principe du maximum est intérieur. Une fonction harmonique non constante sur un domaine connexe n’a pas d’extrémum local intérieur. Pour affirmer que les extrema globaux sont atteints au bord, il faut aussi travailler sur une adhérence compacte et disposer d’une fonction continue jusque sur ce bord.

Une singularité retire un point du domaine. La fonction log√(x² + y²) est harmonique là où (x, y) ≠ (0, 0), mais elle n’est pas définie à l’origine. On ne peut donc pas la déclarer harmonique sur un ouvert contenant ce point.

Laplacien d’une fonction détaille l’opérateur dont l’annulation caractérise une fonction harmonique et aide à refaire le calcul dans d’autres coordonnées.

Fonction holomorphe approfondit la dérivabilité complexe qui rend harmoniques les parties réelle et imaginaire.

De l’équation de Laplace au laplacien replace l’équation dans le développement de l’opérateur et de ses usages.