problème de Dirichlet

Imaginez une plaque mince dont le bord est maintenu à des températures connues. Une fois l’équilibre atteint, la température en chaque point intérieur n’est plus choisie librement : elle s’accorde avec toutes les valeurs du bord, sans créer de pic ni de creux isolé.

Le problème de Dirichlet demande précisément de retrouver cette répartition intérieure. Les valeurs imposées sur la frontière sont les données ; la fonction harmonique recherchée est leur prolongement dans le domaine.

Soit Ω un domaine ouvert de ℝⁿ, et soit ∂Ω sa frontière. Une donnée au bord est une fonction g définie sur ∂Ω. Résoudre le problème de Dirichlet consiste à trouver une fonction u, harmonique dans Ω et égale à g sur la frontière. Dans le cadre classique, u est deux fois continûment différentiable dans Ω et continue jusqu’au bord.

Avec Δ pour le laplacien, les deux conditions du problème se notent ensemble :

Le laplacien additionne les dérivées secondes de u selon les directions de l’espace. Son annulation exprime ici l’absence de source ou de puits à l’intérieur.

L’existence n’est pas automatique pour toute géométrie : elle dépend notamment de la régularité des points de la frontière et de la donnée g. En revanche, sur un domaine borné, deux solutions continues jusqu’au bord et portant la même donnée g coïncident. Cette unicité découle du principe du maximum appliqué à leur différence.

Prenons pour domaine Ω le disque unité du plan, formé des points (x, y) tels que x² + y² < 1. Sur sa frontière circulaire, un point d’angle θ reçoit la valeur g(θ) = cos θ. Nous cherchons la fonction harmonique qui prolonge ces valeurs dans le disque.

1. Essayons la fonction u définie par u(x, y) = x. Ses dérivées secondes par rapport à x et à y sont toutes deux nulles. Le calcul du laplacien donne :

2. Sur le cercle unité, les coordonnées sont x = cos θ et y = sin θ. La valeur de u au bord est donc u(cos θ, sin θ) = cos θ, exactement la donnée g(θ).

3. Les deux conditions sont satisfaites : u est harmonique dans le disque et prend les valeurs prescrites sur tout son bord. Le principe du maximum garantit qu’aucune autre fonction continue sur le disque fermé ne satisfait ces mêmes conditions.

Le contrôle se refait sur trois points du bord : u(1, 0) = 1, u(0, 1) = 0 et u(−1, 0) = −1. À l’intérieur, les segments verticaux sont des lignes de niveau, car u ne dépend que de x.

Pour une température à l’équilibre, on impose la température du bord d’une plaque et l’on cherche la température intérieure. Si des sources de chaleur agissent dans la plaque, l’équation de Poisson remplace l’équation de Laplace.

En électrostatique, on fixe le potentiel sur la frontière d’une région dépourvue de charges. La solution harmonique donne le potentiel intérieur ; en présence d’une densité de charge, il faut là encore employer une équation de Poisson.

Dans un calcul numérique, le bord est discrétisé puis les valeurs intérieures sont déterminées simultanément. Le problème de Dirichlet convient lorsque la valeur elle-même est connue au bord ; si c’est sa variation normale qui est imposée, il faut choisir une condition de Neumann.

Le problème de Neumann impose la dérivée normale de la fonction sur la frontière, et non sa valeur. Une température fixée au bord relève de Dirichlet ; un flux thermique imposé relève de Neumann.

L’équation de Poisson autorise un laplacien non nul donné à l’intérieur. Dès qu’une source intérieure intervient, résoudre seulement Δu = 0 ne décrit plus le phénomène.

Une fonction harmonique est la solution intérieure possible, tandis que le problème de Dirichlet comprend aussi le domaine et les valeurs prescrites sur sa frontière. Nommer une fonction harmonique ne suffit donc pas à poser le problème.

Une frontière irrégulière peut empêcher une donnée continue d’être atteinte continûment en certains points. Le symptôme est qu’un candidat harmonique existe dans Ω mais ne tend pas vers g partout sur ∂Ω ; il faut alors étudier la régularité de chaque point frontière.

L’égalité u = g sur le bord suppose que u possède des valeurs limites appropriées. Écrire seulement Δu = 0 dans l’ouvert ne résout pas le problème de Dirichlet : il faut contrôler le prolongement jusqu’à ∂Ω.

Le principe du maximum assure l’unicité dans le cadre borné classique, mais il ne fabrique pas une solution. Il faut établir séparément l’existence, par exemple à l’aide d’une formule intégrale dans certains domaines réguliers ou par une méthode variationnelle adaptée.

Sur un domaine non borné, la donnée au bord peut ne pas déterminer seule une solution unique. Dans le demi-plan supérieur, la fonction u(x, y) = y est harmonique et nulle sur la droite frontière, tout comme la fonction nulle ; une condition de croissance ou de comportement à l’infini est donc nécessaire.

La fiche fonction harmonique approfondit la propriété de moyenne et le principe du maximum qui gouvernent les solutions.

La fiche laplacien d’une fonction détaille l’opérateur différentiel dont l’annulation caractérise l’harmonicité.

L’article De l’équation de Laplace au laplacien replace cet opérateur et son équation dans un cadre plus large.