formule de Green

Imaginez une région de l’espace entourée d’une peau. Une fonction varie à l’intérieur, et son laplacien mesure la façon dont cette variation se répartit localement. La formule de Green transforme le bilan effectué dans tout le volume en deux contributions : l’une reste intérieure, l’autre se lit sur la peau.

Le terme de bord observe notamment la variation de la fonction dans la direction perpendiculaire à la frontière. Ainsi, une information dispersée dans la région peut être reliée à ce qui entre ou sort par son contour.

La formule de Green est une identité d’intégration par parties dans l’espace. On considère un domaine borné Ω de ℝ³, sa frontière ∂Ω et la normale unitaire extérieure n. Pour deux fonctions réelles u et v suffisamment régulières, le gradient ∇u rassemble les dérivées premières de u, tandis que le laplacien Δu est la somme de ses dérivées secondes selon les trois coordonnées. La dérivée normale de u vaut $\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }n}=\mathrm{\nabla }u\cdot n\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; n\}=\backslash nabla\; u\backslash cdot\; n$.

La première formule relie l’intégrale de vΔu sur Ω, l’interaction intérieure des deux gradients et la variation normale de u sur ∂Ω. La mesure dx porte sur le volume et la mesure dσ sur l’aire de la frontière.

En écrivant cette première formule une fois pour u et v, puis une fois pour v et u, la soustraction élimine le produit des gradients. On obtient la seconde formule de Green. Ces deux identités découlent du théorème de la divergence et interviennent notamment dans l’étude des équations de Laplace et de Poisson.

Soit Ω un domaine borné de ℝ³ dont la frontière ∂Ω est orientée par la normale extérieure n. Si les fonctions u et v sont suffisamment régulières, alors la première formule de Green est :

En échangeant u et v puis en soustrayant, on obtient la seconde identité :

Le membre de gauche porte sur le volume ; celui de droite ne dépend que des valeurs et dérivées normales au bord.

La version classique s’applique à un domaine borné Ω de ℝ³ dont la frontière est lipschitzienne, par exemple de classe C¹ par morceaux. Elle possède alors presque partout une normale extérieure et un élément d’aire. Les fonctions u et v doivent être assez régulières jusqu’au bord pour que leurs gradients, leurs laplaciens et leurs dérivées normales soient définis et intégrables ; l’hypothèse C² convient dans ce cadre. L’orientation extérieure doit rester la même dans tout le calcul.

Si le domaine présente un bord trop irrégulier, ou si u possède une singularité à l’intérieur, les intégrales classiques peuvent ne plus avoir de sens. Il faut alors retirer la singularité et étudier une limite, ou employer une formulation faible adaptée aux équations aux dérivées partielles.

On prend pour Ω la boule unité de ℝ³, pour u la fonction définie par u(x, y, z) = x² + y² + z², et pour v la fonction constante 1. Le volume de Ω vaut 4π/3 et l’aire de sa frontière vaut 4π. La coupe de la boule rend visibles la frontière, la normale extérieure et les données du calcul.

1. Le laplacien de u vaut $\mathrm{\Delta }u=2+2+2=6\backslash Delta\; u=2+2+2=6$. Le gradient de v est nul.

2. L’intégrale volumique du membre de gauche vaut ${\int }_{\mathrm{\Omega }}6dx=6\times \frac{4\pi }{3}=8\pi \backslash int\_\{\backslash Omega\}6\backslash ,dx=6\backslash times\backslash frac\{4\backslash pi\}\{3\}=8\backslash pi$.

3. Sur la sphère unité, la normale extérieure est radiale. Comme ∇u = 2(x, y, z), la dérivée normale de u vaut 2. Le terme intérieur contenant ∇v vaut 0.

4. L’intégrale de bord vaut ${\int }_{\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }}2d\sigma =2\times 4\pi =8\pi \backslash int\_\{\backslash partial\backslash Omega\}2\backslash ,d\backslash sigma=2\backslash times4\backslash pi=8\backslash pi$. Les deux membres donnent donc 8π. Le contrôle est refaisable en comparant six fois le volume de la boule à deux fois l’aire de sa sphère.

Pour une équation de Poisson, l’intégration par parties transfère une dérivée de l’expression du laplacien vers l’autre fonction et remplace les dérivées secondes par un produit de gradients. Sous les hypothèses appropriées, ce geste conduit à une formulation faible lorsque les dérivées secondes ne sont pas directement disponibles.

Pour une fonction harmonique, dont le laplacien est nul, l’identité relie directement des informations intérieures aux valeurs ou aux dérivées normales sur la frontière. Le choix entre imposer la valeur et imposer la dérivée dépend des données connues au bord.

Dans un calcul explicite, on choisit v pour simplifier un terme : une fonction constante annule son gradient, comme dans la boule unité. Si le champ étudié est vectoriel sans laplacien de fonction à transférer, le théorème de la divergence est l’outil direct.

Avec le théorème de la divergence. Celui-ci porte directement sur le flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée. Les formules de Green s’en déduisent en choisissant un champ construit avec u, v et leurs gradients ; elles font donc apparaître laplaciens et dérivées normales.

Avec la formule de Green-Riemann. Green-Riemann relie, dans le plan, une intégrale double sur un domaine à une intégrale curviligne sur son contour. La formule présentée ici travaille dans ℝ³ avec une intégrale de volume et une intégrale sur une surface.

Avec le laplacien lui-même. Le laplacien Δu est une expression locale calculée à partir des dérivées secondes. La formule de Green est une identité intégrale qui relie ce laplacien au gradient et au comportement de u sur la frontière.

Orientation inversée. Si la normale est choisie vers l’intérieur au lieu de l’extérieur, chaque dérivée normale change de signe. Un résultat opposé pour le terme de bord signale souvent cette convention incohérente.

Singularité dans le domaine. Une fonction non C² en un point intérieur ne satisfait pas automatiquement la formule classique sur tout Ω. Il faut exclure une petite boule autour du point, appliquer l’identité au domaine troué, puis justifier le passage à la limite lorsque son rayon tend vers 0.

Régularité insuffisante. Si les dérivées normales n’existent pas au sens classique, écrire directement l’intégrale de surface masque le problème. Une formulation faible et des traces au bord peuvent remplacer les quantités classiques, à condition d’en établir l’existence.

Frontière non fermée ou morcelée. Oublier une composante de ∂Ω fausse le bilan. Chaque morceau du bord doit être intégré avec la normale extérieure propre au domaine, y compris la frontière créée lorsqu’une singularité est retirée.

Laplacien d’une fonction — Pour approfondir l’opérateur Δu qui forme le terme volumique des identités de Green.