AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
laplacien d'une fonction
Le laplacien d'une fonction est un opérateur différentiel du second ordre. Pour une fonction de classe C² sur un domaine de ℝⁿ, il mesure asymptotiquement l'écart entre la valeur moyenne sur une sphère de rayon r centrée en un point x et la valeur f(x) : Δf(x) = limᵣ→0 (2n/r²) [moyenne sur la sphère − f(x)]. Formellement, il est défini comme la trace de la matrice hessienne de la fonction, ou de manière équivalente comme la divergence du gradient : Δf = ∇·(∇f). En coordonnées cartésiennes dans ℝⁿ, il s'écrit Δf = ∂²f/∂x₁² + ∂²f/∂x₂² + ... + ∂²f/∂xₙ². Les fonctions dont le laplacien est identiquement nul sont dites harmoniques ; pour toute sphère centrée en un point et dont la boule fermée correspondante est contenue dans leur domaine, leur valeur au centre est égale à la moyenne de leurs valeurs sur la sphère — ce que l'on appelle la propriété de la moyenne. Le laplacien apparaît dans de nombreuses équations fondamentales de la physique mathématique : l'équation de Laplace (Δf = 0), l'équation de Poisson (Δf = g), l'équation de la chaleur et l'équation des ondes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le laplacien à la divergence du gradient et à la trace de la hessienne.
- Calculer Δf pour f(x,y) = x² + 2y² en coordonnées cartésiennes.
- Interpréter le signe à partir des courbures locales.
- Vérifier le lien avec la moyenne sur un cercle de rayon fixé.
- Reconnaître les limites de la formule cartésienne et les conventions de signe.
En clair
Imaginez une carte où chaque point porte une valeur, comme une hauteur. Autour d’un creux, la valeur centrale est plus petite que celles qui l’entourent ; autour d’un sommet, elle est plus grande. Le laplacien traduit ce contraste local en un nombre.
Avec la convention Δf = ∇·(∇f), un laplacien positif signifie que les courbures, une fois additionnées, penchent vers le haut ; un laplacien négatif indique l’inverse. S’il vaut zéro, les courbures des différentes directions se compensent.
Définition
Soit f une fonction scalaire définie sur un domaine de ℝn et possédant des dérivées secondes continues. Son gradient, noté ∇f, rassemble ses dérivées premières. Le laplacien de f est la divergence de ce gradient : . C’est donc un opérateur différentiel du second ordre qui produit une nouvelle fonction scalaire.
La matrice hessienne de f rassemble toutes ses dérivées secondes. Le laplacien en est la trace, c’est-à-dire la somme des termes diagonaux. En coordonnées cartésiennes x1, …, xn, cette somme s’écrit :
Le signe compare localement la valeur centrale à la moyenne des valeurs voisines, avec un facteur qui dépend de la dimension et du rayon. Une fonction dont le laplacien est nul partout est dite harmonique. Pour toute sphère centrée en un point et dont la boule fermée correspondante est entièrement contenue dans le domaine, sa valeur au centre égale exactement la moyenne sur la sphère : c’est la propriété de la moyenne.
De quoi c'est fait
Le calcul réunit cinq éléments. La fonction scalaire f attribue un nombre à chaque point de son domaine. Les coordonnées x1, …, xn fixent les directions dans lesquelles dériver. Le gradient ∇f regroupe les variations de premier ordre. La matrice hessienne regroupe ensuite toutes les dérivées secondes, tandis que sa diagonale retient la courbure dans chaque direction coordonnée. Enfin, la trace additionne ces termes diagonaux.
Le gradient doit donc être dérivé pour obtenir la divergence, et la hessienne doit être construite avant d’en prendre la trace. Ces deux chemins aboutissent au même scalaire Δf. Le tracé ou l’échelle d’un graphe ne définissent pas l’opérateur : la fonction, le domaine, les coordonnées et l’existence des dérivées nécessaires suffisent au calcul.
Un exemple, pas à pas
On considère la fonction f définie par f(x,y) = x2 + 2y2, dans le plan muni de coordonnées cartésiennes. Le point étudié est l’origine O de coordonnées (0,0). La fonction possède des dérivées secondes continues.
Étape 1. Dans la direction x, la dérivée seconde de x2 vaut 2. Le terme 2y2 ne dépend pas de x. On obtient donc .
Étape 2. Dans la direction y, la dérivée seconde de 2y2 vaut 4. Le terme x2 ne dépend pas de y. Ainsi, .
Étape 3. Le laplacien additionne les deux résultats : . Il est positif, comme les deux courbures tournées vers le haut que montre la figure.
Étape 4. Sur le cercle de rayon r centré en O, la moyenne de x2 vaut r2/2 et celle de 2y2 vaut r2. La moyenne de f vaut donc 3r2/2, tandis que f(O) = 0.
Le contrôle relie les deux lectures : . Pour r = 2, les deux membres valent 6.
En pratique
Dans l’équation de Laplace, on cherche une fonction dont le laplacien est nul. Le bon contrôle consiste à calculer toutes les dérivées secondes diagonales puis à vérifier que leur somme s’annule en chaque point du domaine.
Dans l’équation de Poisson, le laplacien doit au contraire reproduire une fonction donnée g. On préfère cette équation à celle de Laplace dès que le second membre observé n’est pas nul : le test est l’égalité Δf = g.
Dans les équations de la chaleur et des ondes, le laplacien décrit la variation spatiale tandis que d’autres dérivées décrivent l’évolution. Avant tout calcul, il faut donc séparer clairement les variables d’espace de la variable d’évolution.
À ne pas confondre
Le gradient. Le gradient ∇f regroupe des dérivées premières et renvoie un vecteur. Le laplacien Δf utilise des dérivées secondes et renvoie un scalaire. Pour f(x,y) = x2 + 2y2, le gradient dépend de (x,y), tandis que le laplacien vaut constamment 6.
La matrice hessienne. La hessienne conserve toutes les dérivées secondes, y compris les dérivées croisées. Le laplacien n’en garde que la somme diagonale. Deux hessiennes différentes peuvent donc avoir la même trace et le même laplacien.
Le laplacien vectoriel. La présente fiche traite une fonction scalaire f. Pour un champ vectoriel, le résultat attendu est vectoriel et demande une définition adaptée. Le type de sortie — nombre ou vecteur — tranche immédiatement entre les deux cadres.
Limites et pièges
Dérivées insuffisantes. À un point où les dérivées secondes nécessaires n’existent pas, la somme cartésienne classique ne définit pas Δf. Le symptôme est une dérivée seconde absente ou divergente ; il faut alors préciser un autre cadre de définition au lieu d’appliquer la formule mécaniquement.
Moyenne sur un rayon fini. Pour une fonction générale, l’écart à la moyenne sur une petite sphère est proportionnel au laplacien seulement à l’ordre dominant lorsque le rayon tend vers zéro. Une égalité annoncée pour tout rayon admissible exige le cas harmonique, où Δf = 0 ; sinon, il faut revenir à la relation asymptotique.
Coordonnées non cartésiennes. La simple somme des dérivées secondes donnée ici vaut en coordonnées cartésiennes. Si le repère courbe fait apparaître des facteurs d’échelle, cette écriture brute est un signal d’erreur ; il faut employer l’expression du laplacien adaptée aux coordonnées choisies.
Convention de signe. Cette fiche adopte Δf = ∇·(∇f). Certains contextes nomment laplacien l’opérateur opposé. Un signe inattendu dans l’équation est le symptôme ; il faut vérifier la convention avant de comparer deux formules.
Pour aller plus loin
fonction harmonique. Pour approfondir le cas Δf = 0 et la propriété de la moyenne qui en découle.
De l’équation de Laplace au laplacien. Pour replacer l’opérateur dans le prolongement direct de l’équation de Laplace.
Joseph Fourier. Pour prolonger la mention de l’équation de la chaleur par un article consacré à Fourier.
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